MATEMATİĞİN FELSEFESİ

Spread the love

MATEMATİĞİN FELSEFESİ

Matematik tarihler boyunca bir çok insanın hem korktuğu hemde merak ettiği bir bilim olarak varlığını sürdürmüştür. Matematiği bilmeyenler veya matematikten anlamayanlar bunu açıkça dile getirebilir ve bundan da çekinmezler. “Ben matematikten anlamıyorum” cümlesini birçok kişiden duyabilirken , “ben müzikten anlamıyorum” cümlesini herkesten duyamazsınız. Matematik kelimesi her zaman soğuk gelmiştir insanlara. ”Matematiğin hiçbir zaman zorunlu ihtiyaçlar arasında yeri olmamıştır.” cümlesini hem iyi hemde kötü anlamda değerlendirilebilir. Matematiğin yaygınlaşması ve gelişmesi açısından kötü gibi görünse de bir elin parmaklarını geçmeyecek sayıda az olan gerçek matematikçilere yüklenen doğa üstü güçlere sahip olmaları misyonu ve üstün zekalı olduklarına dair inanç bir anlamda onları onure etmeleri açısından güzel bir olay olarak nitelendirilebilir.

Bütün eğitim görmüşler, dünyaya sayıların çerçevesinden bakarlar. Anne ve babalar çocuklarının matematikten yüksek not almasını isterler; devlet okullarda matematiğe daha çok saat ayırır; üniversitelerdeki en büyük bölümlerden biri matematik bölümüdür.

Matematik bilmek bir üstünlük olarak kabul edilir. Ayrıca, evrenin görünüşünün arkasında ne yattığını anlamak için matematik eğitimi almak gerektiğini düşünen Platon’un, Akademi’sinin kapısına, “Geometri bilmeyen girmesin” diye yazdırdığı rivayet edilir.

Birçok filozof, matematiğin mutlak doğru olduğuna inanmaktadır. Öyle ki, Hempel meşhur “Matematiksel Doğruluğun Doğası Üzerine” adlı makalesinde, matematiğin önermelerinin “tanımı itibariyle doğru” olduğunu belirtmiş, matematik önermelerinin, “Bütün bekarlar evli değildir” ifadesindeki gibi kesinlik değerine sahip olduğunu belirterek, matematiğin mutlak geçerliliğini iddia etmiştir.

Bu bağlamda, gözlem ve deneye dayanmadan, sadece akıl ile mutlak bilgi sunduğu iddia edilen matematik, felsefi bir soruşturma için biçilmiş bir kaftandır artık: Matematik nedir? Matematiksel bilginin temeli nedir? Matematiksel doğru, mutlak doğru mudur? Niçin, Matematiksel hakikatın doğası nedir? Matematiksel önermeler, bizden bağımsız olarak mı doğrudur? Matematiksel ispatlar zamanla değişmezler mi? Matematikte doğa bilimlerindeki gibi devrimler var mı? Matematiksel doğrular niçin zorunludur? Matematik eğer kainatın dili ise, niçin bu böyledir? Matematik nasıl oluyor da ‘gerçek’ dünyada işe yarıyor? Bu sorular aslında ‘matematik felsefesi nedir?’ sorusunu sormaktadır.

Matematik felsefesinin ne olduğu, matematik ve felsefe arasındaki ilişki, filozofların bilgi sistemlerinde matematiğin ayrıcalıklı konumunun kökenleri, matematiğin ne olduğu ve matematikçilerin çoğunun inandığı bir matematik felsefesi olarak Platonculuk bu bölümde incelenecektir.

Günümüzün önemli matematik filozoflarından biri olan Maddy, “Matematik filozofunun görevinin, matematiği reform etme değil, onu tanımlama ve açıklama olduğunu kabul ediyorum” demektedir.

Matematik felsefesi de matematik teoremlerinin sayısını doğrudan artırmaz. Körner için matematik felsefesi matematik demek değildir; matematik üzerine yansımalardır.

Körner bu anlayışın matematik felsefesi açısından yanlış bir yaklaşım olduğunu vurgular. Ona göre, felsefenin rehberliğinde olmayan matematik tarihi körleşmiş, matematik tarihine sırtını dönen matematik felsefesi ise koflaşmıştır.

Bütün büyük filozofla matematik hakkında konuşmuştur.Akademik uzmanlaşmanın yaygınlaşmasından önce; Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, Blaise Pascal, Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Henri Poincare, Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel, Alfred Renyi ve Alfred Tarski gibi hem matematikçi hem de filozof olarak çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Öyle ki, Platon, Descartes, Leibniz, Kant, Frege, Russell, Wirtgenstein, Quine, Putnam gibi filozofların düşünce sistemlerinde matematik çok önemli bir yer işgal etmiştir. Aslında bu ilgi, Brown’ın da belirttiği gibi, sadece analitik felsefe denen akımla sınırlı değildir. Husserl ve Lonergin’in çalışmaları ile Kıta Avrupa’sı ve Thomistik felsefede bu ilgi zannedildiğinden de büyüktür. Öyle ki, ciddi bir felsefi merakı olan herkesin, matematiğin doğasına yönelik bir ilgisi olması da beklenir.

Aşırı uzmanlaşmanın matematik ve felsefe arasındaki tarih boyunca süregelen bu etkileşimi sarstığı söylenebilir. Zira, bugün, aynı matematik bölümünün çatısı altında çalışan bir analizci, cebirciyi anlamakta zorluk çekmektedir. Benzeri bir durum felsefe bölümleri için de geçerlidir; sözgelimi, etik üzerine çalışan biri, bilim veya matematik felsefesi üzerine çalışan birini anlamakta zorlanmaktadır.

Matematik felsefesi, felsefenin diğer dalları veya matematiğin diğer alanları dikkate alındığında çok fazla gelişmemiştir. Burada, matematiğin, matematikçi gözünde mükemmel bir sistem olması ve gerçek dünyada ciddi bir sorunla karşılaşmadan kullanılması, ayrıca, genel olarak bir matematikçinin matematik yaparken aldığı zevkin etkili olduğu söylenebilir. Sözgelimi, Fransız matematikçisi Henri Lebesgue’ya göre, matematikçi olan birinin felsefe ile zihnini meşgul etmesine gerek yoktur.

Şimdi, bir filozof matematiğin neden çekici olduğu sorusu akla gelebilir. Shapiro, bu konuda üç önemli noktaya dikkat çeker. Birincisi, her iki disiplin de dünyayı anlamlandırma çabasının bir ürünü olarak Antik Yunan’da doğmuş veya gelişme açısından önemli mesafeler kaydetmişlerdir. İkinci sebep, birçok karmaşık felsefi sorunun matematiğe yönelindiği zaman netliğe kavuşmasıdır. Örneğin bir dil filozofu için ‘Bu terim neyi göstermektedir, bir nesneyi mi? gibi sorular için matematik dili iyi bir malzeme sağlamaktadır. Tymoczko da benzeri bir noktaya vurgu yaparak, matematik felsefesinin geleneksel olarak, felsefe kuramları için bir test imkânı sunduğunu belirtir. Üçüncü sebep epistemoloji ile ilgilidir. Matematik, bilimde hayati bir öneme sahiptir. Dünyayı anlama çabasında matematiğin temel bir görev üstlendiği açıktır. Fiziksel dünyanın anlaşılması için matematik merkezi bir konumdadır. Bir filozof için ‘Kainatın dili niçin matematikle yazılmıştır?’ türü sorular önemli olmalıdır.

Bu açıklamalardan sonra akla gelebilecek bir soru şudur: Peki, matematik nedir? Atom bombasının mimarlarından olan meşhur fizikçi Oppenheimer, bir defasında, günümüzde filozofların matematik bilmediklerini, hatta bir adım daha ileri giderek, matematikçilerin de matematik bilmediklerini söylemiştir. Oppenhemir’ın ifadesinde, matematikçilerin teknik olarak bilgilerinin eksik olduğunu mu yoksa matematikçilerin gerçekte uğraştıkları işin özüne vakıf olmadıklarını mı kastettiği açık değildir. Burada teknik yöne vurgu yapması ihtimali düşüktür: çünkü 20. yüzyıl matematiği, matematiğin atılım çağı olmuş ve kimilerince ‘altın çağ’ olarak nitelendirilmiştir. Bu yüzden Opppnheimer’in kastettiği şeyin matematiğin doğası ve mahiyetine ilişkin olduğu söylenebilir. Aslında, matematiğin ne olduğu sorusu matematik felsefesinde çetin bir sorundur.

‘Matematik nedir?’ sorusunun bir cevabı olarak da okunabilecek olan ve neredeyse bütün matematikçiler tarafından inanılan matematiksel Platonculuğun kendisi, matematik felsefesinde merkezi bir konumdadır.

‘Verilen herhangi iki nokta için, her iki noktanın üzerinde olduğu düz bir çizgi vardır.’

Genel olarak kabul edilen anlayışa göre, matematikçilerin çoğunluğu Platoncudur. Bazı matematikçilerin, matematiksel teoremler ve doğrular hakkındaki görüşlerini aktarmak, Platonculuğu anlamak açısından faydalı olabilir. Mesela, matematikçi-filozof Frege’ye göre; Pisagor teoremi zamanüstü bir doğruluğa sahiptir; matematikçiler Pisagor teoremini keşfetmeden önce bile o, bir gezegen gibi eskiden beri vardı.

Hardy klâsik makalesi, ‘Matematiksel İspat’ta matematiksel teoremlerin doğruluk ve yanlışlığının mutlak olduğunu, bunun bizim onlar hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğu ve matematiksel doğruluğun nesnel gerçekliğin bir parçası olduğunu belirtmiştir.

Aslında, Platonculuk günümüz matematikçileri arasında da yaygındır. Meşhur matematiksel fizikçi Penrose günümüzün önemli Platoncularındandır. Penrose şöyle der: “Mandelbrot kümesi insan zihninin bir buluşu değildir. O bir keşiftir. Aynen Everest Tepesi gibi, Mandelbrot kümesi oradadır!”.

Platonculuğun ne olduğu sorunu üzerine yoğunlaşan Brown, Platonculuğun çekirdeğinin şu maddelerden oluştuğunu belirtir:

1- Matematiksel nesneler gerçektirler ve bizden bağımsız olarak vardırlar.

2- Matematiksel nesneler, zaman ve mekanın dışındadırlar.

3- Matematiksel varlıklar, bir bakıma soyuttur bir bakıma soyut değildir. (Matematiksel varlıklar, fiziksel bir varlığa sahip olmama manasında soyutturlar, fakat sözgelimi 2 sayısının tikel olması, evrensel olmaması manasında soyut değillerdir.)

4- Matematiksel nesneleri sezebilir ve matematiksel hakikati kavrayabiliriz.

5- Matematik ampirik değil a priori’dir (tecrübeden bağımsız olarak ulaşılabilen bilgi).

6- Matematik, a priori olmasına rağmen, kesin doğru olması gerekmez.

7- Platonculuk, diğer görüşlerden daha fazla, matematiksel hakikati arama tekniklerine açıktır.

Bunca hareketlilik, matematik felsefesi tarihinin lineer bir şekilde gelişmediğini göstermekte ve bütüncül/nesnel bir özetin verilmesini imkânsızlaştırmaktadır. Nihayetinde, yapılacak her değerlendirme veya antolojik çalışma, en başta sayfa sınırlamasından dolayı bazı noktaları atlamak/kayırmak zorunda kalacaktır. Ayrıca, bu metinde, matematik felsefesinde Avrupa veya Batı felsefe tarihi paradigması dışında kalan yaklaşımlar (Çin, Hind veya islâm medeniyetlerinin katkıları gibi) üzerinde durulmadı.

“Tarihi gezimize antik Yunan ile başlamak doğaldır. Çünkü günümüzde bildiğimiz haliyle matematik ve felsefenin, Punan’da doğduğu genel olarak kabul edilir.” demektedir.

Pisagorlulara göre sayılar kainatın özünde vardır; yani aslında her şey sayıdır. Onlara göre, doğadaki her şey sayılar veya sayıların başlamadığı bilinen bir vakıa olsa da, Pisagorluların birçok mistik öğretiye sahip olduğu bilinmektedir. Sözgelimi, onlara göre ‘bir’ sayısı bütün sayıların üreticisidir. İki, ilk çift sayıdır ve görüş düşünceyi temsil eder. Çift sayılar kadınları, tek sayılar ise erkekleri gösterir. Üç, gerçek anlamda ilk tek sayıdır ve düzeni temsil eder. Dört, ilk tam kare sayıdır ve adaleti gösterir. Beş, iki ve üç sayısının birleşimi olarak evliliği gösterir. Bu tür sayı mistizmlerinin daha sonraki çağlarda, gerek Hıristiyan, gerek Musevi ve gerekse de kimi Müslüman topluluklarda etkili olduğu bilinmektedir.

Öklit’in kurduğu sistem 2000 yıldan fazla mutlak doğru gibi görünmesine rağmen, ancak modern zamanlarda bu sistemde gedikler olduğu anlaşılmıştır. Sözgelimi, bir çemberin içindeki bir nokta ile çemberin dışındaki bir noktayı birleştiren bir doğruya sahip olduğumuzu kabul edelim. Öklit, bu doğrunun çember ile kesiştiğini kabul etmiştir. Günümüzde bu zannın, Öklit’in kullandığı postulat, aksiyom ve tanımlardan elde edilemeyeceği anlaşılmıştır. Sonucu elde etmek için, süreklilik adı verilen matematiksel bir prensibin eklenmesi gerekir. İşin ilginç tarafı, Elementler uzmanlarının çok yakın zamanlarda farkına vardığı bu mantıksal boşluk, bu sonucun Batı’da keşfedilmesinden yedi asır öncesinde matematikçi ve matematik filozofu İbni Heysem tarafından 11. asırda şöyle ele alınmıştır: “Öklit, iki çemberin bir noktada kesişeceğini söylemiş, fakat birbirlerini kestiklerini ispatlamamıştır, bu özelliği göstermeksizin kabul etmiştir.”

Platon ve Aristo için, matematik demek neredeyse geometri demekti. Platon matematikten, “ilk olarak öğrenilmesi gereken, bilginin her çeşidinde faydalı” diye bahsetmektedir. Platon için geometri formlar dünyasını oluşturmaktadır. Formlar dünyasında her şey mükemmeldir; tecrübi dünyada ise her şey ancak mükemmele yakındır. Aristo, Platon’a karşı bir pozisyon alarak, tecrübi bilginin önemini vurgulamıştır. Aristo’nun matematik felsefesinde, matematiğin fiziksel dünyaya uygulanması gayet sıradandır. Yani matematikçi fiziksel nesnelerin gerçek özelliklerine yakın özelliklerle çalışır. İki ayrı gerçeklikten

Rene Descartes (1596-1650) için matematik temel bir konumdadır. Descartes, matematiğin doğruluğuna hayrandır. Yazılarında kullanmayı ihmal etmiş olsa da Elementler’in sistemini o da takdir eder. Ayrıca, Tanrı’nın matematiksel bir ispatını verir.

Leibniz (1646-1716), basit hesaplamalar sayesinde doğru akıl yürütmelerin yapılabileceği bir dil hayal etmiştir: “Herhangi bir kişi, benim cümlelerimin birinden şüphe duyarsa, benim diyeceğim söz: buyrun soruyu sayıları kullanarak hesaplayalım’ olacaktır. Böylece kalem ve mürekkep kullanarak çabucak cevaba ulaşırız”. Leibniz’in bu hayalinin, gerek Hilbert’in düşüncelerinin gelişmesinde, gerekse de matematik ve bilgisayarlardaki sembolik dilin gelişmesinde önemli payı vardır.

Kant’a (1724-1804) kadar genel olarak, matematik felsefesi ve din birbirini destekler şekilde karşımıza çıkar. Berkeley ve Leibniz’in yapıtlarında din, matematik felsefesindeki sorunların çözüm kaynağı olarak görülmüştür. “Matematik niçin gerçek dünyada bir karşılık, bulur?”, “Matematiksel nesneler, zihnimizden, zaman ve mekandan nasıl bağımsız olabilirler?” türünden zor soruların cevabı açıktır, matematiğin doğası hakkındaki sorunlar için kusursuz bir cevaptır.

Spinoza, matematik felsefesi üzerine doğrudan yazmamış olsa da, yazdıkları matematik felsefesini dolaylı yoldan etkilemiştir. Hersh’e göre, Spinoza’nın matematik feteefejindeki dolaylı rolü, bilimi sekülerleştirmesinde yatmaktadır. Böylece o, modern Platonculuğun ikileminin doğmasına yardıma olmuştur. Bu bağlamda, Kant Pisagor’dan gönümüze teolojiyi açıkça felsefesinin bir parçası yapan son filozoftur. Descartes ve Leibniz’in aksine Kant, matematiğin kesinliğinin, Tanrı’nın varlığının kesinliği için bir delil olduğu düşüncesini kullanmamıştır. Kant, Tanrı’nın varlığı meselesini, matematik kuramından ayrı tutmuştur.

Yeri gelmişken zamanın matematikçilerinin düşüncesini yansıtması açısından ilginç bir hadiseden bahsedelim.

Örnek Olay:

Rivayet edildiğine göre, bütün çağların en üretken matematikçilerinden sayılan Euler (1707-1783) ile devrin önemli bir filozofu olan Diderot karşılaştığında ateist olan Diderot, Euler’den Tanrının varlığının matematiksel bir ispatını ister. Bu meydan okumaya karşı, Euler, tahtaya (a+bn)/ n=x eşitliğini yazar ve “Dolayısıyla Tanrı vardır” der. Matematik bilmediğini ve bu eşitliğin konu ile alakasını kuramadığını belli etmemek için ayrıca herhangi bir soru sormaktan çekinen Diderot, bu sonucu kabullenmek zorunda kalır ve Euler’e karşı bir şey diyemez. Bunun yanında, ruhun materyal bir öz olmadığı ve Tanrı’nın varlığı ile alakalı Euler’in ciddi ispatlarının zamanın teoloji kitaplarında yer etmiş olduğu rivayet edilir. 18. yüzyılın bir başka önemli filozofu Berkeley’in (1685-1753) The Analyst(1734) adlı kitabı, kendi zamanında matematikçi olarak matematikçilere karsı yapılmış tek felsefi eleştiridir. Bu kitabıyla Berkeley, Newton ve Leibniz’in diferansiyel kalkulüsüne saldırmıştır. Berkeley’in aritmetik hakkında ilginç hir görüşü vardır. Ona göre, sayıların varlığından bahsediulemez; yani sayılar yoktur.

Kant’a göre, Öklit geometrisi sentetik bir a priori bilgiye yani doğruluğu zorunlu bir şeye örnektir. Ona göre, bu zorunluluk, az önce değindiğimiz algılarımız veya insanın düşünce tarzında hatta beynimizin yapılış tarzında yatmaktaydı. Russell, “Bir deliden başka hiç kimse, diyorlardı, Öklit geometrisinin geçerliliğinden kuşkulanmaz ve ancak bir aptal onun nesnel referansını yadsır.” diyerek Öklit geometrisinin oluşturduğu paradigmanın ne kadar sağlam olduğunu vurgulamıştır.

Kanadalı geometrici Coxeter bir yazısında 1820/lerde Öklit geometrisi dışında bir geometri hayal etmenin ne kadar zor olduğuna değinerek, Öklitdışı geometrilerin keşfinin doğruluk ve gerçeklik hakkındaki fikirleri derinden sarstığını belirtir.

“Geometrik aksiyomlar, ne a priori sentetik sezgilerden ne de deneysel olgulardan ibaret değildir…..

Bir geometri başka bir geometriden daha doğru olamaz ancak daha kullanışlı olabilir.” Filozoflar yukarıda anlatılan Poincare’nin uzlaşımcılık (konvansiyonelizm) fikrini hâlâ tartışmaktadırlar. 20. yüzyıl bilim felsefesinde derin ve uzun soluklu tartışmalara yol açmış bu görüşe göre, genel olarak bilim belli örtük / ortak kabullere, şartlandırılmalara veya uzlaşımlara dayanmaktadır.

Kant’a yeniden dönersek, Kant’ın temel sorunlarından biri de bütün matematik felsefesini, ’sezgi’ üzerine inşa etmesinde yatar.

Quine, bu ayrımın yetersiz ve yapay bir ayrım olduğu vurgulayarak bu tür bir ayrımı sarsmıştır.

Neredeyse bütün filozoflar tarafından ayrıcalıklı görülen matematik, Hume’a (1711-1776) gelince sıradanlaşmış görünmektedir. Locke ve Berkeley’in takipçisi, kendi kendini yetiştirmiş bir fizikçi ve matematikçi olan David Hume, 20. yüzyıldan önce, matematiğin diğer bilimler gibi yalnızca ihtimali bilgi verdiğini belirten az sayıda filozoftan biridir. Hume’unbu ‘marjinal’ görüşünü aktarıp, Kant’ın önemli bir rakibi olan Mill’e geçeceğiz.

Mili (1806-1873), matematiksel kesinlik ile aklın ulaşabileceği , en yüksek dereceli kesinlik arasında kurulan ilişkiyi sorgulamış, matematiğin neredeyse tüm filozoflar tarafından tecrübe ve gözlemden bağımsız ele alınmasına karşı çıkmıştır. Mill’in görüşleri kendi çağında çok fazla revaç bulmamış olsa bile günümüzde Quine ve Kitcher gibi önemli filozoflar Mill’in görüşlerini ciddiye almaktadırlar.

Mill’e göre, bu görüş ampirizmin özünü oluşturur: 2+2 = 4 eşitliğinin anlamı, ‘iki taşı yanyana koy, öte tarafa da iki taş koy sonra bunları yanyana getir eder 4 taş’ gibi gayet basit ve sıradandır. Yani Mill’e göre, matematiksel bilgiyi elde etme yöntemi temelde fizik gibi diğer tür bilgi edinme yöntemleri ile aynıdır; dolayısıyla matematiğin herhangi ciddi bir üstünlüğü yoktur. Burada, Mill’e yönelik bir eleştiriyi aktarmak faydalı olacaktır. Mili, matematik açısından ilkel sayılabilecek konularla ilgilenmiş, yüksek seviyeli matematikle uğraşmamıştır; ki bu, Aristo için anlaşılabilecek bir şey olsa da Mili için böyle söylenemez. Meselâ, Mili kendi görüşlerinden yola çıkarak matematiksel tümevarımı nasıl açıklayacaktır? (Shapiro, 2000: 100) Bu arada, sadece temel düzeyde matematikle uğraşmış olan Mill’in savunduğu ampirizmin, şimdiki ampirizmin zorlukları ile karşılaşmadığı da söylenebilir.

Stuart Mill’in babası James Mili, Hobbes ve Condillac gibi sayıların varlığını inkar eden nominalistlere göre, 2+1,3′ün tanımıdır. Bu fikirleri ile bu düşünürler. Russell’ı ve Russell’ın takipçilerini önceleyerek, 2+1 = 3 denkleminin totoloji olduğunu iddia etmişlerdir. S. Mili bu görüşlere karşı çıkmıştır. Mill’e göre, 2+1 totoloji değil bilgilendirici bir denklemdir ve bize bir üçlünün, tek ve çift olmak üzere iki gruba ayrılabileceğini gösterir.

Toparlarsak, matematik felsefesinin ilk devirlerinden beri temelde iki görüş ile karşı karşıya bulunmaktayız. Rasyonalizm olarak adlandırılabilecek olan görüşe göre, matematiğin sarsılmaz bir temeli vardır ve bu akıl ile bilinebilir. Kökenlerini, Platon’da bulan bu görüşün en önemli temsilcileri Descartes, Spinoza ve Leibniz’dır. Bu görüşe karşı çıkan ikinci görüşü ampirizm olarak adlandırırsak, bu görüşü savunanlara göre, matematiksel bilginin kaynağı, saf akıl değil, tecrübedir. Kökenlerini Aristo’da bulan bu görüşün en önemli temsilcileri Locke, Berkeley, Hume ve S. Mill’dir. Bu iki görüş modern matematik felsefesini temelden biçimlendirecektir. Tartışmasız baskın olan birinci görüşü, ileride değineceğimiz temelci yaklaşımda, ikinci görüşü ise Viyana çevresi ve Quine gibi filozoflarda bulmaktayız.

Asırlar önce, Pisagorlular arasında kök iki sayısının keşfinin doğurduğu tedirginlik geometriye olan ilginin artmasına sebep olmuştu. 19. yüzyılda ise, geometrideki kesinliğin azalması, bütün matematikteki kesinliğin azalması tehlikesini doğurdu.

Uzayı kaplayan eğrilen ve hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli eğriler tam birer sürpriz ve şok olmuştur. Bunlar, matematiğin o zamana kadar üzerine kurulu olduğu, geometrik sezginin yanılabilirliğini ortaya koymaktaydı.

Zamanın önemli matematikçileri bu sorun ile boğuşmuşlardı. Weierstrass’ın öncülüğünde matematikçiler, o zamana kadar matematiğin temeli olarak görülen geometriyi aritmetik ile değiştirmişlerdir. Bu süreçte, matematik felsefesini derinden etkileyecek matematiksel çalışmalar Cantor’dan gelmiştir.

Cantor, kümelerin farklı sonsuz büyüklüklere sahip olduğunu ispatlayarak, sonsuzluğu derecelendirmeyi başarmıştır.

Dedekind ve Weierstrass liderliğinde matematikçiler, matematiğin temeli olarak geometri yerine aritmetiği ikame ettiler. ne var ki, Cantor’un sonsuzluk analizleri aritmetiğin dayandığı küme kuramında paradokslara yol açtı. Matematikçiler bu krizi ortadan kaldırmak için matematiğin temellerini sağlama alma konusunda ciddi çalışmalara başladılar.

  1. yüzyılın sonunda matematiğin büyük ölçüde, kümelere dayandığı yada indirgenebileceği düşüncesi göz önüne alınınca paradoksların sebep olduğu krizi anlamak daha kolay olur.

Mantıkçılık, katıksız (pür) matematiğin, mantığın bir kolu olduğunu iddia eden düşünce okuludur.

Frege, sayıların insan zihnindeki fikirler olduğunu iddia eden psikolojizme, sayıların evrimleştiğini iddia eden tarihçiliğe ve sayıların fiziksel dünyadaki nesneler olduğunu iddia eden ampirizme karşı sert eleştiriler getirdi.

Formalizm, popüler terimlerle ifade edersek, matematiğin ‘kağıt üzerindeki işaretlerle oynanan bir oyun’ olduğunu iddia eder. Formalizmin başlıca taraftarları Hilbert, ilk dönem von Neumann ve Curry’dir.

Formalizm temelde iki türe ayrılabilir. Terim biçimciliği olarak nitelenen biçimciliğe göre, matematiğin bir konusu vardır ve matematiksel önermeler ya doğru ya da yanlıştır. Bu görüş, zor soruları kolaylıkla cevaplandırmaktadır. “Matematik ne hakkındadır? Sayılar, kümeler vs. Bu sayılar, kümeler vs. nedir? Bunlar dilsel özelliklerdir. Matematik nasıl bilinir? Matematiksel bilgi nedir?

Bu, karakterlerin birbiri ile nasıl ilişkili olduklarının ve bunların

matematiksel pratik içinde nasıl manipüle edildiklerinin bilgisidir.” Oyun biçimciliği olarak adlandırılan biçimcilik de zor metafizik ve epistemolojik soruları kolayca cevaplandırır. “Matematik ne hakkındadır? Hiçbir şey. Sayılar, kümeler vs. nedir? Bunlar var değiller veyahut olmamalıdırlar. Matematik nasıl bilinir? Matematiksel bilgi nedir? Bu, oyunun kurallarının veya bu kurallara göre belirlenen hareketlerin bilgisidir.”

Biçimciler içinde Hilbert’in programı göz kamaştırıcıdır. Hilbert, “Gerçekte matematiksel bir problemi alt etmenin en çekici ana

sebeplerinden biri daima içimizdeki şu çığlığı hissetmememizdendir: Problem işte ortada, hadi cevabını bul, onu sadece düşünerek bulabilirsin, çünkü matematikte bilinemeyecek diye bir şey yoktur.” demiştir.

İnşacılar, matematiği çelişkilerden ve anlamsızlıklardan kurtarmak için matematiği yeniden inşa etme gayesi ile yola çıkmışlardır. Dolayısıyla, onlara göre doğal sayılardan sonlu sayıda basamak ile inşa edilemeyen matematiksel önermeler, matematikten hariç tutulmalıdır. Klasik matematik güvenilir değildir ve inşacı metotlarla yeniden inşa edilmeye ihtiyacı vardır.

En meşhur inşacılar, sezgici felsefenin öncülüğünü yapmış L.E.J. Brouwer ve öğrencisi A. Heyting’dir. Günümüzde Michael Duramett gibi filozoflar, inşacılığın değişik biçimlerini savunmaktadırlar.

Temelciliğe getirdiği bakış açısı ile dikkatleri üzerine çeken önemli bir filozof ise hilary Putnam’dır. Putnam 1967 yılında yazdığı bir makalede şöyle demektedir:

“Filozoflar ile mantıkçılar son elli yıl boyunca matematiğe bir ‘temel’ bulma yolunda öylesine yoğun bir çaba içine girmişlerdir ki, yalnızca birkaç cılız ses matematiğin bir temele gereksinmesi olmadığını söyleme cesareti gösterebilmiştir. Ben bu cılız seslere katılmak istiyorum. Kanımca matematik açıklık gerektiren bir konu değildir; temellendirilmesine ilişkin bir bunalımı da yoktur. dahası, matematiğin temeli olmadığı gibi, bir temele ihtiyacı olduğuna da inanmıyorum.” (Putnam’dan aktaran Yıldırım)

Son yıllarda, dikkati çeken bir konu da bilgisayar ispatları ve grafikleridir. 1976 yılında Dört Renk Sanısı’nın bilgisayar tarafından ispatının verilmesi matematikçiler ve filozoflar arasında ispatın ne olduğu, bilgisayar ispatının kabul edilip edilemeyeceği gibi ciddi tartışmalara yol açmıştır. Aslında birçok matematikçi, bilgisayar ispatına sert tepki göstermiştir. On yıllarca, matematik filozoflarının bir kısmı, geçerli bir ispatın herhangi mekanik bir yolla kontrol edilebileceğinden bahsettiler. Şimdi, bilgisayar tarafından uzun yıllardır çözülemeyen bir sorunun ispatı verilince, bazıları “Bu, bir ispat değildir!” demektedirler.

Yirminci yüzyılın en önemli filozoflarından kabul edilen Quine’ın (1908-2000) matematik felsefesi hakkındaki görüşleri oldukça önemlidir. Quine, “Ampirizmin iki Dogması” adlı meşhur makalesinde eskiden beri uygulanagelen, olgulardan bağımsız bilinebilen veya olgularla bilinebilen ayrımı olarak tarif edilen ve ilk olarak Kant’ta açıkça karşılaştığımız analitik-sentetik ‘dogma’sına savaş açar. Quine’a göre, dil ve dünya faktörleri birbirine düğümlenmiş gibi iç içe geçmiştir ve bu ikisi arasında keskin bir ayrım yoktur.

1960′lı ve 1970′li yıllarda, Platonculuğa ciddi eleştiriler yöneltilmeye başlanmıştır.

Zaruriyet (Indispensability) tartışması olarak bilinen, ‘Matematik bilim için temel teşkil eder mi?’ sorusu nominalizmi anlamak açısından önem teşkil etmektedir. Quine ve Putnam’ın ilk olarak evet demesi, nominalist Field’in ise karşı çıkıp, hayır demesi ile başlayan tartışma günümüzde hâlâ devam etmektedir.

Chihara, soyut nesnelerin varlığı kabul edilerek kurulan cümlelerin, ifadelerin sadece dilsel varlıklar olarak yeniden inşa edilebileceğini iddia eder.

Field’in kurguculuk (fictionalism) olarak adlandırdığı görüşe göre, edebi kurgu ürünü olan Oliver Twist neyse, sayılar veya kümeler de aynı konumdadır. Field’in kurguculuğu, nominalizm içinde gelenekten en fazla kopan görüştür.

Benacerraf’ın 1973 yılına ait “Matematiksel Hakikat” adlı makalesidir. Benacerraf, bahsi geçen makalede bir ikilem ortaya atar: matematiksel doğruluk hakkındaki en iyi görüşlerimiz matematiksel bilgi hakkındaki bilgilerimiz ile uyuşmamaktadır. Madem matematiksel nesneler, zaman ve mekandan bağımsız görünmektedirler ve bu nesneler ve insan arasında herhangi bir bağ yoktur, o zaman en iyi bilgi kuramımıza göre, matematiksel bilgi imkânsızdır!

Bazı filozoflar, insan bilgisinin şartlarını daha iyi anlatan bilgi kuramları bizden bağımsız matematiksel nesneleri anlamamızı sağlayacaktır, diyerek yeni Fregeciliğin ikilemden etkilenmediğini iddia etmektedirler.

Yapısalcılığın önemli bir filozofu olan Michael resnik, bu konuyla alakalı meşhur bir makalesinin girişinde, “Matematikte, iddia ediyorum ki, yapılar içinde dizili ‘içsel’ birleşimli nesnelere sahip değiliz, sahip olduğumuz şey sadece yapılardır. matematiksel sabit ve değişkenlerin gösterdiği varlıklar yani matematiksel nesneler, yapının içerisinde (herhangi bir) yapıya sahip olmayan nokta ve konumlardır. Yapının içerisindeki konumlar gibi, matematiksel nesnelerin herhangi birkimliği veya özelliği yoktur.” demiştir.

Genel kanı fikirlerin bazen çok güçlü olduğudur. Bir kavram, felsefi bir kavram olarak bilgisayar hakkında bir kuramdan bahsedeceğim.

Hepimiz biliyoruz ki, bilgisayar gerçek dünyada çok kullanışlı bir nesnedir! Maaşlarımızı öder; öyle değil mi? Fakat insanların çoğu zaman hatırlamadığı şey, -abartmış olacağım, lakin söyleyeceğim- bilgisayarın gerçekte matematiğin temelleri ile ilgili felsefi bir sorunu aydınlatmak için icat edilmiş olduğudur.

Şimdi, bu fikir saçma gibi görünüyor; ancak bunun doğru taraf ları var. Aslında, bilgisayara, bilgisayar teknolojisine yol açan birçok fikir silsilesi vardır. Bu fikirler, matematiksel mantık ile matematiğin sınırları ve gücü hakkındaki felsefi sorunlardan türemiştir.

Bu tür sorunlardan ilham alan, oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir modeli olan Turing makinesini icat etmiş olan bilgisayar öncüsü Turing’dir. Turing bu makineyi Hilbert’in matematik felsefesi ile ilgili bir sorusunu çözmeye çalışırken icat etmiştir. Turing, bunu herhangi gerçek bir bilgisayar henüz icat edilmeden önce yaptı ve sonra da sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu, İngiltere’deki ilk bilgisayarlar Turing tarafından yapıldı.

Buna ilâveten, Birleşik Devletler’de bir teknoloji olarak bilgisayarların icadını, (maalesef savaş çalışmalarının ve atom bombası inşa etme çalışmalarının bir parçası olarak) üretilmesini teşvik etmede faydalı olan von Neumann, Turing’in çalışmalarını çok iyi biliyordu. Ben Turing’i, Turing’in çalışmalarının öneminden bahseden von Neumann’ı okuyarak öğrendim.

Demek ki, benim bilgisayarların kökeni hakkında söylediklerim tümüyle bir uydurma değildir. Lâkin bu mevzu entelektüel tarihin unutulmuş bir parçasıdır. Bu konuşmanın bitiş yargısı ile başlayayım: Bunların çoğu bir bakıma Hilbert’in çalışmalarından türemiştir. Bu yüzyılın başlarında çok iyi bilinen bir Alman matematikçi olan Hilbert, matematiğin tümünü, bütün matematiksel akıl yürütmeleri -sonuç çıkarmaları- biçimselleştirmeyi önerdi. Ve Hilbert’in bu önerisi çok büyük, görkemli bir fiyaskodur!

Bir bakıma, bu, büyük bir başarısızlıktır. Çünkü, matematiksel akıl yürütmenin biçimselleştirilemeyeceği açığa çıkmıştır. Bu, benim bugün üzerinde konuşacağım, 1931′de Gödel tarafından yapılan çalışmanın meşhur bir sonucudur.

Fakat bir başka yönden, Hilbert gerçekten haklıydı; çünkü biçimcilik (formalizm) bu yüzyılın en büyük başarısı olmuştur. Akıl yürütme veya mantıksal çıkarım için değil de, programlama ve hesaplamada biçimcilik son derece başardı olmuştur. Eğer bu yüzyılın başındaki mantıkçıların çalışmalarına bakarsanız, onlar akıl yürütme, mantıksal çıkarım ile matematik yapma ve sembolik mantık için biçimsel diller üzerine konuşuyorlardı; bununla beraber onlar aynı zamanda programlama dillerinin ilk versiyonlarından bazılarını da icat etmişlerdi. Dahası, bu programlama dilleri, bizim her zaman birlikte yaşadığımız ve beraber çalıştığımız biçimciliklerdir! Bunlar çok önemli teknolojilerdir.

Böylece, akıl yürütmek için biçimcilik işlemedi. Matematikçiler biçimsel diller içinde akıl yürütmezler. Fakat hesaplama, programlama dilleri için biçimcilik, kökü bu yüzyılın başında Hilbert’e dayanan, matematik ile ilgili epistemolojik, felsefi soruları açıklamaya çalışan biçimci görüş için de bir bakıma doğrudur.

Şimdi size şaşırtıcı bir sonucu olan bu öyküyü anlatıp, entelektüel tarihin bu şaşırtıcı parçasından bahsedeceğim.

Müsaadenizle, yaklaşık bir yüzyıl öncesine gidip, Cantor ile başlayalım…

Georg Cantor: Mesele şudur: Normalde matematiğin statik, değişmeyen, mükemmel, mutlak doğru, mutlak gerçek vs. olduğunu düşünürsünüz; değil mi? Fizik değişken olabilir; fakat matematikte nesneler kesindir! Hâlbuki durumun tam olarak böyle olmadığı açığa çıktı.

Geçen yüzyılda matematiğin temelleri, matematiğin nasıl yapılması gerektiği, neyin doğru olup olmadığı, matematikte geçerli bir ispatin ne olduğu gibi konular üzerine birçok uyuşmazlık yaşandı. Bunun üzerine neredeyse kan akıtılıyordu… İnsanların korkunç kavgaları oldu ve bu öykü akıl hastanesinde son buldu. Bu, oldukça önemli bir uyuşmazlıktı. Bu uyuşmazlık çok iyi bilinmiyor ama bunun entelektüel tarihimizin ilginç bir parçası olduğunu düşünüyorum.

Birçok insan görelilik kuramı hakkındaki uyuşmazlıktan haberdardır. Einstein, başta çok tartışıldı. Ve sonra kuantum mekaniği üzerine olan uyuşmazlık… Bunlar, yüzyıl fiziğinin iki önemli devrimidir. Fakat daha az bilinen şey, pür (katıksız) matematikte de müthiş devrimlerin ve uyuşmazlıkların olduğudur. Bu, gerçekte Cantor ile başladı.

Cantor’un yaptığı şey, bir sonsuz kümeler kuramı icat etmekti.

Cantor bunu yaklaşık yüzyıl önce icat etti; hatta, yüzyıldan biraz daha uzun bir süre öncedir. Bu kuram çok büyük bir devrim niteliğinde olup, aşın derecede maceralı bir iştir.

Bu, Cantor’un asıl hüneri olan sonsuz kümelerin boyutunu ölçmek için yaptığı ısınma turu niteliğinde harikulade hayali ve üretici bir şeydi; dahası bu, çok aşırı tepkiler aldı. Cantor’un yapağı şeyi bazıları sevdi, bazıları ise onun bir akıl hastanesine konulması gerektiğini düşündü! Gerçekten de bu eleştirilerden sonra Cantor’da sinir bozukluğu (nevrasteni) başladı. Cantor’un çalışmaları, çok etkili olup nokta-küme topolojisi ve yirminci yüzyıl matematiğinin diğer soyut alanlarına zemin aça. Fakat çalışmaları, aynı zamanda tartışmalıydı. Bazıları, bunun, gerçek değil hayali bir dünya olduğunu nü, ciddi matematikle bir alâkası olmayıp teoloji olduğunu söyledi! Dahası, Cantor asla iyi bir mevki elde edemedi ve hayatının geri kalanını da ikinci sınıf bir enstitüde harcadı.

.Bertrand Russell:Matematikçi olarak başlayan Bertrand Russell sonraları filozof olarak kendine bir yön çizmiştir. Bertrand Russell, önce Cantor kuramında, sonra mantığın kendisinde rahatsız edici bir paradoks demeti keşfetmiştir. Bunlar öyle durumlardır ki, orada akıl yürütmeler doğru gözükürken aynı zamanda çelişki doğurmuştur.

Herneyse, bu paradokslardan en çok bilineni bugünlerde Russell paradoksu olarak anılanıdır. Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini düşünün. Ve sonra şunu sorun: “Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir! Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır, ve tersi! Bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden bir berberin durumuna benzer. Paradoks, “Berber kendi kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor. Berber, kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş etmez. Böylece berber, bu kuralı kendine uygulayamaz!

Şöyle diyebilirsiniz: “Bu berberden kime ne!” Bu, her halükarda aptalca bir kuraldır ve her kuralın istisnası vardır! Fakat bir küme ile, matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız, bu sorunu halletmek o kadar da kolay değildir. O halde, doğru görünen akıl yürütmeler sizi zora sokuyorsa öyle kolay omuz silkemezsiniz!

Cantor’un sonsuz kümeler kuramının ateşlendirdiği krize tepkilerden biri biçimciliğe sığınmak olmuştur. Eğer kusursuz görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntıya düşüyorsak, o halde çözüm sebmolik mantığı kullanmaktır.

Yapay bir dil oluşturarak o dilin içinde çok dikkatli olup, oyunun kuralları neyse onu söyleyerek çelişkilere düşmediğimizden emin olabiliriz. Çünkü, burada kusursuz görünen bir parça akıl yürütme var ki, bu çelişkilere yol açmaktadır. İşte biz bu sorunun üstesinden gelmek istiyoruz. Fakat, doğal dil muğlaktır -bir zamirin kime işaret ettiğini asla bilemezsiniz-.

Bundan dolayı, gelin bir yapay dil oluşturalım ve her şeyi çok net kılalım ve bütün çelişkilerinden kurtulduğumuza emin olalım! Bu biçimcilik düşüncesiydi.

Şimdi ben, Hilbert’in matematikçilerin böyle mükemmel bir yapay dil içinde çalışmak zorunda olduklarını kastettiğini zannetmiyorum. Bu yapay dil daha çok bir programlama diline benzeyecektir; fakat amaç hesap yapmak değil, akıl yürüterek, matematik yapmak ve çıkarım yapmaktır. Bu, Hilbert’in düşüncesidir. Fakat Hilbet, düşüncesini hiçbir zaman bu şekilde ifade etmedi. Çünkü, o zaman programlama dilleri yoktu.

Peki, buradaki düşünceler nelerdir? Her şeyden önce, Hilbert aksiyomatik yöntemin önemini vurguladı.

Bu şekilde matematik yapma fikri, antik Yunanlılara kadar ve özellikle güzel ve açık bir matematiksel sistem olan Öklit geometrisine kadar dayanır. Lâkin, bu yeterli değildir; Hilbert aynı zamanda sembolik mantığı kullanmamız gerektiğini söylüyordu.

Sembolik mantığın da uzun bir geçmişi vardır: Leibniz, Boole, Frege, Peano… Bu matematikçiler akıl yürütmeyi cebire benzetmek istediler. İşte Leibniz: Kimin haklı olduğunu tartışma yerine hesaplama ile münakaşadan kaçınmayı önerdi ve münakaşadan kastı muhtemelen siyasi ve dini münakaşalardı! Kavga yerine masaya oturabilmeli ve “Beyler, buyurun hesaplayalım..” demelisiniz diyordu. Ne güzel bir düş!…

Matematiğin makul bir felsefi beyanı olduğu iddiasını taşıyan her felsefi ekol, bu soruların her birine tatmin edici cevaplar verebilmelidir:

1- Matematiği diğer beşeri bilgilerinden farklı kılan şeyler nelerdir,

2- Matematik ne hakkındadır veya matematiğin konusu nedir,

3- Matematik hakkında evrensele yakın bir uzlaşım niçin vardır,

4- Matematiksel bilgiyi nasıl elde ederiz,

5- Matematikçinin sosyal olaylardan etkilenmesine rağmen, matematik niçin zaman, mekân, ırk gibi değişik unsurlardan bağımsızdır,

6- Sonsuz var mıdır,

7- Pür matematik, ‘gerçek’ dünyada nasıl bu kadar karşılık bulabilmekte ve kullanışlı olabilmektedir,

Bu soruların tümü, ne mantıkçılık ne sezgicilik ne de hümanizm veya başka bir felsefi ekol tarafından yetkin ve doyurucu bir şekilde cevaplanamamıştır. Bu yaklaşımların kimi bazılarını açıklamada ötekilerden daha iyi olsa da, her biri kendi eksikliklerinden mahfuz değildir. Dolayısıyla, matematik felsefesindeki mevcut yaklaşımların her biri sadece sınırlı bir alanda tatmin edicidirler.

Eğer matematiksel nesneler bizden bağımsız olarak zaman ve mekân dışında var iseler, biz bunlar hakkında nasıl bilgi sahibi olabiliyoruz? Böyle bir âlem niye var, nasıl var? Hersh, “Matematik felsefesindeki, yakın zamanlarda karşılaşılan sorunlar, nihai olarak dinin bilimden sürgün edilmesinin bir sonucudur.” demektedir. Tanrı’nın varlığı ve ilmi kabul edildiğinde matematik felsefesini meşgul eden ‘Sayılar nasıl vardır?’, “Matematiksel doğrular, niçin zamandan ve mekandan bağımsız görünmekteler?’, Matematik “gerçek dünya”da niçin çalışır?” türü soruların tamamı olacaktır. Çünkü, Tanrı için bunlar sorun olamaz.

Aslında, matematiğin ontolojisi ile ilgili sorunlar çok çetindir. Öyle ki, dinin tamamen bilimsel düşünceden silinmesi ile bazı matematikçiler için mistik inançlar devreye girmiştir. Burada, Macar Yahudilerden Amerika’ya göç etmiş, 20. yüzyılın en üretken matematikçilerinden olan, Paul Erdös’e değinmek yerinde olur.

Erdös, bir toplanda matematiğin biz keşfetmeden önce var olup olmadığı sorununu hatırlattıktan sonra, bir kitaptan bahseder. Ona göre, transfinit bir kitapta bütün güzel matematiksel ispatlar mevcuttur; Tanrı bazen matematikçi kullarına lütufta bulunup o kitabın yapraklarını göstermektedir. Erdös, meslektaşlarının güzel bir ispat yapması karşısında iltifat için, ‘doğrudan kitaptan’ tabirini kullanırdı. Erdös’ün tanıtıldığı ve onun “kitap” hakkındaki fikirlerinden bahsedildiği bir toplantıda, Erdös araya girmiş ve “Tanrı’ya inanmak zorunda değilsiniz ama Kitab’a inanmalısınız.” demiştir.

Matematikçiler matematiksel hakikatin bizim dışımızda var olduğu inancını sürdürmektedirler. Tanrı hâlâ sevgili matematikçi kullarına ‘kitap’tan ispat yaprakları göstermeye devam etmektedir. İşin ironik tarafı da vardır: Son yıllarda, birçok filozof-matematikçi tarafından, matematikçinin pratiğine daha çok dikkat çekildiği hâlde, matematikçinin pratiğinde bu ‘mistik’ inanışın sürdürüldüğüne, metafizikten kaçınma tavrından dolayı az dikkat çekiliyor.

 

Bir Cevap Yazın

Your email address will not be published.