Neden Matematik Özel Ders ?

Neden Özel Ders?

Özel ders öğrencinin daha verimli çalışmasına imkân tanır. Bir sınıfta yer alan öğrencilerin hiçbiri aynı seviyede değildir. Öğrenme hızları farklı olabileceği gibi, bildikleri de birbirinden farklı olabilir. Dahası öğrenme metotları da uyuşmayabilir. Özel ders bu soruna en etkili çözümü sunar. Eğitmen sadece öğrencinin ihtiyaçlarına yönelerek, haftalarca sürede anlatılan konuları çok kısa bir sürede kavratabilir.

Özel ders öğrencinin kendisini daha iyi tanımasına olanak tanır. Kalabalık bir sınıf içerisinde öğrenci kendisini, beceri ve eksiklerini görmekte zorlanabilir. Ancak özel ders esnasında, eğitmenle birebir diyalog kurarak, kendisi için daha etkin bir rehberlik hizmeti alabilir.

Özel ders özellikle sınavların yaklaştığı, öğrencinin kendisini hazır hissetmediği dönemlerde çok etkili ve başarılı bir rol oynayabilir.

Özellikle YGS, LYS, (YKS), TEOG, KPSS ve ALES gibi sınavlara hazırlanan kişiler, düzenli olarak matematik özel ders alarak, konularını sınava yaklaşırken hızla tüketebilir ve sınav hazırlıklarını tamamlayarak deneme sınavlarına odaklanabilirler.

Dershane ya da kurslardaki öğrenme süreci, sınıftaki öğrenme hızı en düşük seviyedeki bireye göre belirlendiği için aylarca hatta yıllarca sürebilir. Matematik özel ders, bu süreyi minimuma indirir. Zaman en verimli şekilde kullanılarak etkin öğrenme gerçekleşir.

Doğrudan iletişimin en sağlıklı yolu öğrenen birey ile öğretmeni arasında birebir bilgi alışverişidir. Bu özelliği ile matematik özel ders, okul ya da dershanedeki uygulamalardan çok farklıdır. Çünkü birebir ders anlatımı esnasında öğrenen ile öğretmen arasındaki iletişim en ileri düzeyde olduğu için; öğrenci, hiçbir şeyi kaçırmadan, atlamadan anlatılan konuyu en ince ayrıntısına kadar öğrenmiş olur.

Bunun yanı sıra, okullarda ve dershanede, öğrencinin bireysel öğrenme farklılıklarından kaynaklanan nedenlerle anlamadığı ya da aklına takıldığı bir konuyu öğretmenine sorup cevap alabilmesi sınıf ortamında sosyo-psikolojik nedenlerde mümkün olmayabilir. Matematik özel ders bu noktada önem arzetmektedir.

Özel ders öğrencinin zamandan ciddi oranda tasarruf etmesini sağlar. Özellikle büyük şehirlerde yollarda geçirilen zamandan tasarruf edilip bu süre derslere ayrılabilir.

BAŞARIDA ZAMAN PLANLAMASI

BAŞARIDA ZAMAN PLANLAMASI…

Başarıda ulaşılmak istenen hedefe giden yolun ‘zamanla ilgili planlaması’ son derece önemlidir. Sınava ne kadar süre kaldığı, bu sürenin nasıl kullanılacağı, başarının temel taşlarıdır.

Zamanı doğru kullanmamak, pek çok başarısızlığın nedeni olmuştur. Onun için, aşağıdaki şemanın yardımcı olacağını düşünüyorum:

  1. Yıl, ay ve gün olarak kullanabileceğim süre nedir?
  2. Bu süreyi bir hafta olarak nasıl planlayabilirim? Haftanın hangi günlerini çalışmaya, hangi günlerini dinlenme ve eğlenmeye ayırabilirim?
  3. Bir günde kaç saat çalışmam gerekiyor?
  4. Toplam süre içinde çalışmaya kaç saat ayırmış oluyorum?
  5. Bu süreyi çalışma programı olarak nasıl düzenlemem doğrudur? Hangi derse hangi gün ve saatleri ayırmalıyım?
  6. Şimdi yıllık bir ajanda almalıyım. Programımı ajanda üzerine yazmalıyım. Sürenin bütününü görmeliyim.
  7. Çalışmaya başladıktan sonra, haftalık ve aylık değerlendirmeler yapmalıyım. Zaman planlamam başarılı oluyor mu? Başarı yüzdem kaç?
  8. Uygulama eksikliğim varsa nedenleri neler? Bu nedenleri nasıl ortadan kaldırabilirim? Yoksa programda değişiklik yapmam mı gerekiyor?
  9. Planımı ve programımı uygularken verimli olduğumu görüyor muyum?
  10. Somut sonuçlar (deneme testleri, bilgi akışı vb.) beni destekliyor mu?

MATEMATİĞİN FELSEFESİ

MATEMATİĞİN FELSEFESİ

Matematik tarihler boyunca bir çok insanın hem korktuğu hemde merak ettiği bir bilim olarak varlığını sürdürmüştür. Matematiği bilmeyenler veya matematikten anlamayanlar bunu açıkça dile getirebilir ve bundan da çekinmezler. “Ben matematikten anlamıyorum” cümlesini birçok kişiden duyabilirken , “ben müzikten anlamıyorum” cümlesini herkesten duyamazsınız. Matematik kelimesi her zaman soğuk gelmiştir insanlara. ”Matematiğin hiçbir zaman zorunlu ihtiyaçlar arasında yeri olmamıştır.” cümlesini hem iyi hemde kötü anlamda değerlendirilebilir. Matematiğin yaygınlaşması ve gelişmesi açısından kötü gibi görünse de bir elin parmaklarını geçmeyecek sayıda az olan gerçek matematikçilere yüklenen doğa üstü güçlere sahip olmaları misyonu ve üstün zekalı olduklarına dair inanç bir anlamda onları onure etmeleri açısından güzel bir olay olarak nitelendirilebilir.

Bütün eğitim görmüşler, dünyaya sayıların çerçevesinden bakarlar. Anne ve babalar çocuklarının matematikten yüksek not almasını isterler; devlet okullarda matematiğe daha çok saat ayırır; üniversitelerdeki en büyük bölümlerden biri matematik bölümüdür.

Matematik bilmek bir üstünlük olarak kabul edilir. Ayrıca, evrenin görünüşünün arkasında ne yattığını anlamak için matematik eğitimi almak gerektiğini düşünen Platon’un, Akademi’sinin kapısına, “Geometri bilmeyen girmesin” diye yazdırdığı rivayet edilir.

Birçok filozof, matematiğin mutlak doğru olduğuna inanmaktadır. Öyle ki, Hempel meşhur “Matematiksel Doğruluğun Doğası Üzerine” adlı makalesinde, matematiğin önermelerinin “tanımı itibariyle doğru” olduğunu belirtmiş, matematik önermelerinin, “Bütün bekarlar evli değildir” ifadesindeki gibi kesinlik değerine sahip olduğunu belirterek, matematiğin mutlak geçerliliğini iddia etmiştir.

Bu bağlamda, gözlem ve deneye dayanmadan, sadece akıl ile mutlak bilgi sunduğu iddia edilen matematik, felsefi bir soruşturma için biçilmiş bir kaftandır artık: Matematik nedir? Matematiksel bilginin temeli nedir? Matematiksel doğru, mutlak doğru mudur? Niçin, Matematiksel hakikatın doğası nedir? Matematiksel önermeler, bizden bağımsız olarak mı doğrudur? Matematiksel ispatlar zamanla değişmezler mi? Matematikte doğa bilimlerindeki gibi devrimler var mı? Matematiksel doğrular niçin zorunludur? Matematik eğer kainatın dili ise, niçin bu böyledir? Matematik nasıl oluyor da ‘gerçek’ dünyada işe yarıyor? Bu sorular aslında ‘matematik felsefesi nedir?’ sorusunu sormaktadır.

Matematik felsefesinin ne olduğu, matematik ve felsefe arasındaki ilişki, filozofların bilgi sistemlerinde matematiğin ayrıcalıklı konumunun kökenleri, matematiğin ne olduğu ve matematikçilerin çoğunun inandığı bir matematik felsefesi olarak Platonculuk bu bölümde incelenecektir.

Günümüzün önemli matematik filozoflarından biri olan Maddy, “Matematik filozofunun görevinin, matematiği reform etme değil, onu tanımlama ve açıklama olduğunu kabul ediyorum” demektedir.

Matematik felsefesi de matematik teoremlerinin sayısını doğrudan artırmaz. Körner için matematik felsefesi matematik demek değildir; matematik üzerine yansımalardır.

Körner bu anlayışın matematik felsefesi açısından yanlış bir yaklaşım olduğunu vurgular. Ona göre, felsefenin rehberliğinde olmayan matematik tarihi körleşmiş, matematik tarihine sırtını dönen matematik felsefesi ise koflaşmıştır.

Bütün büyük filozofla matematik hakkında konuşmuştur.Akademik uzmanlaşmanın yaygınlaşmasından önce; Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, Blaise Pascal, Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Henri Poincare, Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel, Alfred Renyi ve Alfred Tarski gibi hem matematikçi hem de filozof olarak çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Öyle ki, Platon, Descartes, Leibniz, Kant, Frege, Russell, Wirtgenstein, Quine, Putnam gibi filozofların düşünce sistemlerinde matematik çok önemli bir yer işgal etmiştir. Aslında bu ilgi, Brown’ın da belirttiği gibi, sadece analitik felsefe denen akımla sınırlı değildir. Husserl ve Lonergin’in çalışmaları ile Kıta Avrupa’sı ve Thomistik felsefede bu ilgi zannedildiğinden de büyüktür. Öyle ki, ciddi bir felsefi merakı olan herkesin, matematiğin doğasına yönelik bir ilgisi olması da beklenir.

Aşırı uzmanlaşmanın matematik ve felsefe arasındaki tarih boyunca süregelen bu etkileşimi sarstığı söylenebilir. Zira, bugün, aynı matematik bölümünün çatısı altında çalışan bir analizci, cebirciyi anlamakta zorluk çekmektedir. Benzeri bir durum felsefe bölümleri için de geçerlidir; sözgelimi, etik üzerine çalışan biri, bilim veya matematik felsefesi üzerine çalışan birini anlamakta zorlanmaktadır.

Matematik felsefesi, felsefenin diğer dalları veya matematiğin diğer alanları dikkate alındığında çok fazla gelişmemiştir. Burada, matematiğin, matematikçi gözünde mükemmel bir sistem olması ve gerçek dünyada ciddi bir sorunla karşılaşmadan kullanılması, ayrıca, genel olarak bir matematikçinin matematik yaparken aldığı zevkin etkili olduğu söylenebilir. Sözgelimi, Fransız matematikçisi Henri Lebesgue’ya göre, matematikçi olan birinin felsefe ile zihnini meşgul etmesine gerek yoktur.

Şimdi, bir filozof matematiğin neden çekici olduğu sorusu akla gelebilir. Shapiro, bu konuda üç önemli noktaya dikkat çeker. Birincisi, her iki disiplin de dünyayı anlamlandırma çabasının bir ürünü olarak Antik Yunan’da doğmuş veya gelişme açısından önemli mesafeler kaydetmişlerdir. İkinci sebep, birçok karmaşık felsefi sorunun matematiğe yönelindiği zaman netliğe kavuşmasıdır. Örneğin bir dil filozofu için ‘Bu terim neyi göstermektedir, bir nesneyi mi? gibi sorular için matematik dili iyi bir malzeme sağlamaktadır. Tymoczko da benzeri bir noktaya vurgu yaparak, matematik felsefesinin geleneksel olarak, felsefe kuramları için bir test imkânı sunduğunu belirtir. Üçüncü sebep epistemoloji ile ilgilidir. Matematik, bilimde hayati bir öneme sahiptir. Dünyayı anlama çabasında matematiğin temel bir görev üstlendiği açıktır. Fiziksel dünyanın anlaşılması için matematik merkezi bir konumdadır. Bir filozof için ‘Kainatın dili niçin matematikle yazılmıştır?’ türü sorular önemli olmalıdır.

Bu açıklamalardan sonra akla gelebilecek bir soru şudur: Peki, matematik nedir? Atom bombasının mimarlarından olan meşhur fizikçi Oppenheimer, bir defasında, günümüzde filozofların matematik bilmediklerini, hatta bir adım daha ileri giderek, matematikçilerin de matematik bilmediklerini söylemiştir. Oppenhemir’ın ifadesinde, matematikçilerin teknik olarak bilgilerinin eksik olduğunu mu yoksa matematikçilerin gerçekte uğraştıkları işin özüne vakıf olmadıklarını mı kastettiği açık değildir. Burada teknik yöne vurgu yapması ihtimali düşüktür: çünkü 20. yüzyıl matematiği, matematiğin atılım çağı olmuş ve kimilerince ‘altın çağ’ olarak nitelendirilmiştir. Bu yüzden Opppnheimer’in kastettiği şeyin matematiğin doğası ve mahiyetine ilişkin olduğu söylenebilir. Aslında, matematiğin ne olduğu sorusu matematik felsefesinde çetin bir sorundur.

‘Matematik nedir?’ sorusunun bir cevabı olarak da okunabilecek olan ve neredeyse bütün matematikçiler tarafından inanılan matematiksel Platonculuğun kendisi, matematik felsefesinde merkezi bir konumdadır.

‘Verilen herhangi iki nokta için, her iki noktanın üzerinde olduğu düz bir çizgi vardır.’

Genel olarak kabul edilen anlayışa göre, matematikçilerin çoğunluğu Platoncudur. Bazı matematikçilerin, matematiksel teoremler ve doğrular hakkındaki görüşlerini aktarmak, Platonculuğu anlamak açısından faydalı olabilir. Mesela, matematikçi-filozof Frege’ye göre; Pisagor teoremi zamanüstü bir doğruluğa sahiptir; matematikçiler Pisagor teoremini keşfetmeden önce bile o, bir gezegen gibi eskiden beri vardı.

Hardy klâsik makalesi, ‘Matematiksel İspat’ta matematiksel teoremlerin doğruluk ve yanlışlığının mutlak olduğunu, bunun bizim onlar hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğu ve matematiksel doğruluğun nesnel gerçekliğin bir parçası olduğunu belirtmiştir.

Aslında, Platonculuk günümüz matematikçileri arasında da yaygındır. Meşhur matematiksel fizikçi Penrose günümüzün önemli Platoncularındandır. Penrose şöyle der: “Mandelbrot kümesi insan zihninin bir buluşu değildir. O bir keşiftir. Aynen Everest Tepesi gibi, Mandelbrot kümesi oradadır!”.

Platonculuğun ne olduğu sorunu üzerine yoğunlaşan Brown, Platonculuğun çekirdeğinin şu maddelerden oluştuğunu belirtir:

1- Matematiksel nesneler gerçektirler ve bizden bağımsız olarak vardırlar.

2- Matematiksel nesneler, zaman ve mekanın dışındadırlar.

3- Matematiksel varlıklar, bir bakıma soyuttur bir bakıma soyut değildir. (Matematiksel varlıklar, fiziksel bir varlığa sahip olmama manasında soyutturlar, fakat sözgelimi 2 sayısının tikel olması, evrensel olmaması manasında soyut değillerdir.)

4- Matematiksel nesneleri sezebilir ve matematiksel hakikati kavrayabiliriz.

5- Matematik ampirik değil a priori’dir (tecrübeden bağımsız olarak ulaşılabilen bilgi).

6- Matematik, a priori olmasına rağmen, kesin doğru olması gerekmez.

7- Platonculuk, diğer görüşlerden daha fazla, matematiksel hakikati arama tekniklerine açıktır.

Bunca hareketlilik, matematik felsefesi tarihinin lineer bir şekilde gelişmediğini göstermekte ve bütüncül/nesnel bir özetin verilmesini imkânsızlaştırmaktadır. Nihayetinde, yapılacak her değerlendirme veya antolojik çalışma, en başta sayfa sınırlamasından dolayı bazı noktaları atlamak/kayırmak zorunda kalacaktır. Ayrıca, bu metinde, matematik felsefesinde Avrupa veya Batı felsefe tarihi paradigması dışında kalan yaklaşımlar (Çin, Hind veya islâm medeniyetlerinin katkıları gibi) üzerinde durulmadı.

“Tarihi gezimize antik Yunan ile başlamak doğaldır. Çünkü günümüzde bildiğimiz haliyle matematik ve felsefenin, Punan’da doğduğu genel olarak kabul edilir.” demektedir.

Pisagorlulara göre sayılar kainatın özünde vardır; yani aslında her şey sayıdır. Onlara göre, doğadaki her şey sayılar veya sayıların başlamadığı bilinen bir vakıa olsa da, Pisagorluların birçok mistik öğretiye sahip olduğu bilinmektedir. Sözgelimi, onlara göre ‘bir’ sayısı bütün sayıların üreticisidir. İki, ilk çift sayıdır ve görüş düşünceyi temsil eder. Çift sayılar kadınları, tek sayılar ise erkekleri gösterir. Üç, gerçek anlamda ilk tek sayıdır ve düzeni temsil eder. Dört, ilk tam kare sayıdır ve adaleti gösterir. Beş, iki ve üç sayısının birleşimi olarak evliliği gösterir. Bu tür sayı mistizmlerinin daha sonraki çağlarda, gerek Hıristiyan, gerek Musevi ve gerekse de kimi Müslüman topluluklarda etkili olduğu bilinmektedir.

Öklit’in kurduğu sistem 2000 yıldan fazla mutlak doğru gibi görünmesine rağmen, ancak modern zamanlarda bu sistemde gedikler olduğu anlaşılmıştır. Sözgelimi, bir çemberin içindeki bir nokta ile çemberin dışındaki bir noktayı birleştiren bir doğruya sahip olduğumuzu kabul edelim. Öklit, bu doğrunun çember ile kesiştiğini kabul etmiştir. Günümüzde bu zannın, Öklit’in kullandığı postulat, aksiyom ve tanımlardan elde edilemeyeceği anlaşılmıştır. Sonucu elde etmek için, süreklilik adı verilen matematiksel bir prensibin eklenmesi gerekir. İşin ilginç tarafı, Elementler uzmanlarının çok yakın zamanlarda farkına vardığı bu mantıksal boşluk, bu sonucun Batı’da keşfedilmesinden yedi asır öncesinde matematikçi ve matematik filozofu İbni Heysem tarafından 11. asırda şöyle ele alınmıştır: “Öklit, iki çemberin bir noktada kesişeceğini söylemiş, fakat birbirlerini kestiklerini ispatlamamıştır, bu özelliği göstermeksizin kabul etmiştir.”

Platon ve Aristo için, matematik demek neredeyse geometri demekti. Platon matematikten, “ilk olarak öğrenilmesi gereken, bilginin her çeşidinde faydalı” diye bahsetmektedir. Platon için geometri formlar dünyasını oluşturmaktadır. Formlar dünyasında her şey mükemmeldir; tecrübi dünyada ise her şey ancak mükemmele yakındır. Aristo, Platon’a karşı bir pozisyon alarak, tecrübi bilginin önemini vurgulamıştır. Aristo’nun matematik felsefesinde, matematiğin fiziksel dünyaya uygulanması gayet sıradandır. Yani matematikçi fiziksel nesnelerin gerçek özelliklerine yakın özelliklerle çalışır. İki ayrı gerçeklikten

Rene Descartes (1596-1650) için matematik temel bir konumdadır. Descartes, matematiğin doğruluğuna hayrandır. Yazılarında kullanmayı ihmal etmiş olsa da Elementler’in sistemini o da takdir eder. Ayrıca, Tanrı’nın matematiksel bir ispatını verir.

Leibniz (1646-1716), basit hesaplamalar sayesinde doğru akıl yürütmelerin yapılabileceği bir dil hayal etmiştir: “Herhangi bir kişi, benim cümlelerimin birinden şüphe duyarsa, benim diyeceğim söz: buyrun soruyu sayıları kullanarak hesaplayalım’ olacaktır. Böylece kalem ve mürekkep kullanarak çabucak cevaba ulaşırız”. Leibniz’in bu hayalinin, gerek Hilbert’in düşüncelerinin gelişmesinde, gerekse de matematik ve bilgisayarlardaki sembolik dilin gelişmesinde önemli payı vardır.

Kant’a (1724-1804) kadar genel olarak, matematik felsefesi ve din birbirini destekler şekilde karşımıza çıkar. Berkeley ve Leibniz’in yapıtlarında din, matematik felsefesindeki sorunların çözüm kaynağı olarak görülmüştür. “Matematik niçin gerçek dünyada bir karşılık, bulur?”, “Matematiksel nesneler, zihnimizden, zaman ve mekandan nasıl bağımsız olabilirler?” türünden zor soruların cevabı açıktır, matematiğin doğası hakkındaki sorunlar için kusursuz bir cevaptır.

Spinoza, matematik felsefesi üzerine doğrudan yazmamış olsa da, yazdıkları matematik felsefesini dolaylı yoldan etkilemiştir. Hersh’e göre, Spinoza’nın matematik feteefejindeki dolaylı rolü, bilimi sekülerleştirmesinde yatmaktadır. Böylece o, modern Platonculuğun ikileminin doğmasına yardıma olmuştur. Bu bağlamda, Kant Pisagor’dan gönümüze teolojiyi açıkça felsefesinin bir parçası yapan son filozoftur. Descartes ve Leibniz’in aksine Kant, matematiğin kesinliğinin, Tanrı’nın varlığının kesinliği için bir delil olduğu düşüncesini kullanmamıştır. Kant, Tanrı’nın varlığı meselesini, matematik kuramından ayrı tutmuştur.

Yeri gelmişken zamanın matematikçilerinin düşüncesini yansıtması açısından ilginç bir hadiseden bahsedelim.

Örnek Olay:

Rivayet edildiğine göre, bütün çağların en üretken matematikçilerinden sayılan Euler (1707-1783) ile devrin önemli bir filozofu olan Diderot karşılaştığında ateist olan Diderot, Euler’den Tanrının varlığının matematiksel bir ispatını ister. Bu meydan okumaya karşı, Euler, tahtaya (a+bn)/ n=x eşitliğini yazar ve “Dolayısıyla Tanrı vardır” der. Matematik bilmediğini ve bu eşitliğin konu ile alakasını kuramadığını belli etmemek için ayrıca herhangi bir soru sormaktan çekinen Diderot, bu sonucu kabullenmek zorunda kalır ve Euler’e karşı bir şey diyemez. Bunun yanında, ruhun materyal bir öz olmadığı ve Tanrı’nın varlığı ile alakalı Euler’in ciddi ispatlarının zamanın teoloji kitaplarında yer etmiş olduğu rivayet edilir. 18. yüzyılın bir başka önemli filozofu Berkeley’in (1685-1753) The Analyst(1734) adlı kitabı, kendi zamanında matematikçi olarak matematikçilere karsı yapılmış tek felsefi eleştiridir. Bu kitabıyla Berkeley, Newton ve Leibniz’in diferansiyel kalkulüsüne saldırmıştır. Berkeley’in aritmetik hakkında ilginç hir görüşü vardır. Ona göre, sayıların varlığından bahsediulemez; yani sayılar yoktur.

Kant’a göre, Öklit geometrisi sentetik bir a priori bilgiye yani doğruluğu zorunlu bir şeye örnektir. Ona göre, bu zorunluluk, az önce değindiğimiz algılarımız veya insanın düşünce tarzında hatta beynimizin yapılış tarzında yatmaktaydı. Russell, “Bir deliden başka hiç kimse, diyorlardı, Öklit geometrisinin geçerliliğinden kuşkulanmaz ve ancak bir aptal onun nesnel referansını yadsır.” diyerek Öklit geometrisinin oluşturduğu paradigmanın ne kadar sağlam olduğunu vurgulamıştır.

Kanadalı geometrici Coxeter bir yazısında 1820/lerde Öklit geometrisi dışında bir geometri hayal etmenin ne kadar zor olduğuna değinerek, Öklitdışı geometrilerin keşfinin doğruluk ve gerçeklik hakkındaki fikirleri derinden sarstığını belirtir.

“Geometrik aksiyomlar, ne a priori sentetik sezgilerden ne de deneysel olgulardan ibaret değildir…..

Bir geometri başka bir geometriden daha doğru olamaz ancak daha kullanışlı olabilir.” Filozoflar yukarıda anlatılan Poincare’nin uzlaşımcılık (konvansiyonelizm) fikrini hâlâ tartışmaktadırlar. 20. yüzyıl bilim felsefesinde derin ve uzun soluklu tartışmalara yol açmış bu görüşe göre, genel olarak bilim belli örtük / ortak kabullere, şartlandırılmalara veya uzlaşımlara dayanmaktadır.

Kant’a yeniden dönersek, Kant’ın temel sorunlarından biri de bütün matematik felsefesini, ’sezgi’ üzerine inşa etmesinde yatar.

Quine, bu ayrımın yetersiz ve yapay bir ayrım olduğu vurgulayarak bu tür bir ayrımı sarsmıştır.

Neredeyse bütün filozoflar tarafından ayrıcalıklı görülen matematik, Hume’a (1711-1776) gelince sıradanlaşmış görünmektedir. Locke ve Berkeley’in takipçisi, kendi kendini yetiştirmiş bir fizikçi ve matematikçi olan David Hume, 20. yüzyıldan önce, matematiğin diğer bilimler gibi yalnızca ihtimali bilgi verdiğini belirten az sayıda filozoftan biridir. Hume’unbu ‘marjinal’ görüşünü aktarıp, Kant’ın önemli bir rakibi olan Mill’e geçeceğiz.

Mili (1806-1873), matematiksel kesinlik ile aklın ulaşabileceği , en yüksek dereceli kesinlik arasında kurulan ilişkiyi sorgulamış, matematiğin neredeyse tüm filozoflar tarafından tecrübe ve gözlemden bağımsız ele alınmasına karşı çıkmıştır. Mill’in görüşleri kendi çağında çok fazla revaç bulmamış olsa bile günümüzde Quine ve Kitcher gibi önemli filozoflar Mill’in görüşlerini ciddiye almaktadırlar.

Mill’e göre, bu görüş ampirizmin özünü oluşturur: 2+2 = 4 eşitliğinin anlamı, ‘iki taşı yanyana koy, öte tarafa da iki taş koy sonra bunları yanyana getir eder 4 taş’ gibi gayet basit ve sıradandır. Yani Mill’e göre, matematiksel bilgiyi elde etme yöntemi temelde fizik gibi diğer tür bilgi edinme yöntemleri ile aynıdır; dolayısıyla matematiğin herhangi ciddi bir üstünlüğü yoktur. Burada, Mill’e yönelik bir eleştiriyi aktarmak faydalı olacaktır. Mili, matematik açısından ilkel sayılabilecek konularla ilgilenmiş, yüksek seviyeli matematikle uğraşmamıştır; ki bu, Aristo için anlaşılabilecek bir şey olsa da Mili için böyle söylenemez. Meselâ, Mili kendi görüşlerinden yola çıkarak matematiksel tümevarımı nasıl açıklayacaktır? (Shapiro, 2000: 100) Bu arada, sadece temel düzeyde matematikle uğraşmış olan Mill’in savunduğu ampirizmin, şimdiki ampirizmin zorlukları ile karşılaşmadığı da söylenebilir.

Stuart Mill’in babası James Mili, Hobbes ve Condillac gibi sayıların varlığını inkar eden nominalistlere göre, 2+1,3′ün tanımıdır. Bu fikirleri ile bu düşünürler. Russell’ı ve Russell’ın takipçilerini önceleyerek, 2+1 = 3 denkleminin totoloji olduğunu iddia etmişlerdir. S. Mili bu görüşlere karşı çıkmıştır. Mill’e göre, 2+1 totoloji değil bilgilendirici bir denklemdir ve bize bir üçlünün, tek ve çift olmak üzere iki gruba ayrılabileceğini gösterir.

Toparlarsak, matematik felsefesinin ilk devirlerinden beri temelde iki görüş ile karşı karşıya bulunmaktayız. Rasyonalizm olarak adlandırılabilecek olan görüşe göre, matematiğin sarsılmaz bir temeli vardır ve bu akıl ile bilinebilir. Kökenlerini, Platon’da bulan bu görüşün en önemli temsilcileri Descartes, Spinoza ve Leibniz’dır. Bu görüşe karşı çıkan ikinci görüşü ampirizm olarak adlandırırsak, bu görüşü savunanlara göre, matematiksel bilginin kaynağı, saf akıl değil, tecrübedir. Kökenlerini Aristo’da bulan bu görüşün en önemli temsilcileri Locke, Berkeley, Hume ve S. Mill’dir. Bu iki görüş modern matematik felsefesini temelden biçimlendirecektir. Tartışmasız baskın olan birinci görüşü, ileride değineceğimiz temelci yaklaşımda, ikinci görüşü ise Viyana çevresi ve Quine gibi filozoflarda bulmaktayız.

Asırlar önce, Pisagorlular arasında kök iki sayısının keşfinin doğurduğu tedirginlik geometriye olan ilginin artmasına sebep olmuştu. 19. yüzyılda ise, geometrideki kesinliğin azalması, bütün matematikteki kesinliğin azalması tehlikesini doğurdu.

Uzayı kaplayan eğrilen ve hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli eğriler tam birer sürpriz ve şok olmuştur. Bunlar, matematiğin o zamana kadar üzerine kurulu olduğu, geometrik sezginin yanılabilirliğini ortaya koymaktaydı.

Zamanın önemli matematikçileri bu sorun ile boğuşmuşlardı. Weierstrass’ın öncülüğünde matematikçiler, o zamana kadar matematiğin temeli olarak görülen geometriyi aritmetik ile değiştirmişlerdir. Bu süreçte, matematik felsefesini derinden etkileyecek matematiksel çalışmalar Cantor’dan gelmiştir.

Cantor, kümelerin farklı sonsuz büyüklüklere sahip olduğunu ispatlayarak, sonsuzluğu derecelendirmeyi başarmıştır.

Dedekind ve Weierstrass liderliğinde matematikçiler, matematiğin temeli olarak geometri yerine aritmetiği ikame ettiler. ne var ki, Cantor’un sonsuzluk analizleri aritmetiğin dayandığı küme kuramında paradokslara yol açtı. Matematikçiler bu krizi ortadan kaldırmak için matematiğin temellerini sağlama alma konusunda ciddi çalışmalara başladılar.

  1. yüzyılın sonunda matematiğin büyük ölçüde, kümelere dayandığı yada indirgenebileceği düşüncesi göz önüne alınınca paradoksların sebep olduğu krizi anlamak daha kolay olur.

Mantıkçılık, katıksız (pür) matematiğin, mantığın bir kolu olduğunu iddia eden düşünce okuludur.

Frege, sayıların insan zihnindeki fikirler olduğunu iddia eden psikolojizme, sayıların evrimleştiğini iddia eden tarihçiliğe ve sayıların fiziksel dünyadaki nesneler olduğunu iddia eden ampirizme karşı sert eleştiriler getirdi.

Formalizm, popüler terimlerle ifade edersek, matematiğin ‘kağıt üzerindeki işaretlerle oynanan bir oyun’ olduğunu iddia eder. Formalizmin başlıca taraftarları Hilbert, ilk dönem von Neumann ve Curry’dir.

Formalizm temelde iki türe ayrılabilir. Terim biçimciliği olarak nitelenen biçimciliğe göre, matematiğin bir konusu vardır ve matematiksel önermeler ya doğru ya da yanlıştır. Bu görüş, zor soruları kolaylıkla cevaplandırmaktadır. “Matematik ne hakkındadır? Sayılar, kümeler vs. Bu sayılar, kümeler vs. nedir? Bunlar dilsel özelliklerdir. Matematik nasıl bilinir? Matematiksel bilgi nedir?

Bu, karakterlerin birbiri ile nasıl ilişkili olduklarının ve bunların

matematiksel pratik içinde nasıl manipüle edildiklerinin bilgisidir.” Oyun biçimciliği olarak adlandırılan biçimcilik de zor metafizik ve epistemolojik soruları kolayca cevaplandırır. “Matematik ne hakkındadır? Hiçbir şey. Sayılar, kümeler vs. nedir? Bunlar var değiller veyahut olmamalıdırlar. Matematik nasıl bilinir? Matematiksel bilgi nedir? Bu, oyunun kurallarının veya bu kurallara göre belirlenen hareketlerin bilgisidir.”

Biçimciler içinde Hilbert’in programı göz kamaştırıcıdır. Hilbert, “Gerçekte matematiksel bir problemi alt etmenin en çekici ana

sebeplerinden biri daima içimizdeki şu çığlığı hissetmememizdendir: Problem işte ortada, hadi cevabını bul, onu sadece düşünerek bulabilirsin, çünkü matematikte bilinemeyecek diye bir şey yoktur.” demiştir.

İnşacılar, matematiği çelişkilerden ve anlamsızlıklardan kurtarmak için matematiği yeniden inşa etme gayesi ile yola çıkmışlardır. Dolayısıyla, onlara göre doğal sayılardan sonlu sayıda basamak ile inşa edilemeyen matematiksel önermeler, matematikten hariç tutulmalıdır. Klasik matematik güvenilir değildir ve inşacı metotlarla yeniden inşa edilmeye ihtiyacı vardır.

En meşhur inşacılar, sezgici felsefenin öncülüğünü yapmış L.E.J. Brouwer ve öğrencisi A. Heyting’dir. Günümüzde Michael Duramett gibi filozoflar, inşacılığın değişik biçimlerini savunmaktadırlar.

Temelciliğe getirdiği bakış açısı ile dikkatleri üzerine çeken önemli bir filozof ise hilary Putnam’dır. Putnam 1967 yılında yazdığı bir makalede şöyle demektedir:

“Filozoflar ile mantıkçılar son elli yıl boyunca matematiğe bir ‘temel’ bulma yolunda öylesine yoğun bir çaba içine girmişlerdir ki, yalnızca birkaç cılız ses matematiğin bir temele gereksinmesi olmadığını söyleme cesareti gösterebilmiştir. Ben bu cılız seslere katılmak istiyorum. Kanımca matematik açıklık gerektiren bir konu değildir; temellendirilmesine ilişkin bir bunalımı da yoktur. dahası, matematiğin temeli olmadığı gibi, bir temele ihtiyacı olduğuna da inanmıyorum.” (Putnam’dan aktaran Yıldırım)

Son yıllarda, dikkati çeken bir konu da bilgisayar ispatları ve grafikleridir. 1976 yılında Dört Renk Sanısı’nın bilgisayar tarafından ispatının verilmesi matematikçiler ve filozoflar arasında ispatın ne olduğu, bilgisayar ispatının kabul edilip edilemeyeceği gibi ciddi tartışmalara yol açmıştır. Aslında birçok matematikçi, bilgisayar ispatına sert tepki göstermiştir. On yıllarca, matematik filozoflarının bir kısmı, geçerli bir ispatın herhangi mekanik bir yolla kontrol edilebileceğinden bahsettiler. Şimdi, bilgisayar tarafından uzun yıllardır çözülemeyen bir sorunun ispatı verilince, bazıları “Bu, bir ispat değildir!” demektedirler.

Yirminci yüzyılın en önemli filozoflarından kabul edilen Quine’ın (1908-2000) matematik felsefesi hakkındaki görüşleri oldukça önemlidir. Quine, “Ampirizmin iki Dogması” adlı meşhur makalesinde eskiden beri uygulanagelen, olgulardan bağımsız bilinebilen veya olgularla bilinebilen ayrımı olarak tarif edilen ve ilk olarak Kant’ta açıkça karşılaştığımız analitik-sentetik ‘dogma’sına savaş açar. Quine’a göre, dil ve dünya faktörleri birbirine düğümlenmiş gibi iç içe geçmiştir ve bu ikisi arasında keskin bir ayrım yoktur.

1960′lı ve 1970′li yıllarda, Platonculuğa ciddi eleştiriler yöneltilmeye başlanmıştır.

Zaruriyet (Indispensability) tartışması olarak bilinen, ‘Matematik bilim için temel teşkil eder mi?’ sorusu nominalizmi anlamak açısından önem teşkil etmektedir. Quine ve Putnam’ın ilk olarak evet demesi, nominalist Field’in ise karşı çıkıp, hayır demesi ile başlayan tartışma günümüzde hâlâ devam etmektedir.

Chihara, soyut nesnelerin varlığı kabul edilerek kurulan cümlelerin, ifadelerin sadece dilsel varlıklar olarak yeniden inşa edilebileceğini iddia eder.

Field’in kurguculuk (fictionalism) olarak adlandırdığı görüşe göre, edebi kurgu ürünü olan Oliver Twist neyse, sayılar veya kümeler de aynı konumdadır. Field’in kurguculuğu, nominalizm içinde gelenekten en fazla kopan görüştür.

Benacerraf’ın 1973 yılına ait “Matematiksel Hakikat” adlı makalesidir. Benacerraf, bahsi geçen makalede bir ikilem ortaya atar: matematiksel doğruluk hakkındaki en iyi görüşlerimiz matematiksel bilgi hakkındaki bilgilerimiz ile uyuşmamaktadır. Madem matematiksel nesneler, zaman ve mekandan bağımsız görünmektedirler ve bu nesneler ve insan arasında herhangi bir bağ yoktur, o zaman en iyi bilgi kuramımıza göre, matematiksel bilgi imkânsızdır!

Bazı filozoflar, insan bilgisinin şartlarını daha iyi anlatan bilgi kuramları bizden bağımsız matematiksel nesneleri anlamamızı sağlayacaktır, diyerek yeni Fregeciliğin ikilemden etkilenmediğini iddia etmektedirler.

Yapısalcılığın önemli bir filozofu olan Michael resnik, bu konuyla alakalı meşhur bir makalesinin girişinde, “Matematikte, iddia ediyorum ki, yapılar içinde dizili ‘içsel’ birleşimli nesnelere sahip değiliz, sahip olduğumuz şey sadece yapılardır. matematiksel sabit ve değişkenlerin gösterdiği varlıklar yani matematiksel nesneler, yapının içerisinde (herhangi bir) yapıya sahip olmayan nokta ve konumlardır. Yapının içerisindeki konumlar gibi, matematiksel nesnelerin herhangi birkimliği veya özelliği yoktur.” demiştir.

Genel kanı fikirlerin bazen çok güçlü olduğudur. Bir kavram, felsefi bir kavram olarak bilgisayar hakkında bir kuramdan bahsedeceğim.

Hepimiz biliyoruz ki, bilgisayar gerçek dünyada çok kullanışlı bir nesnedir! Maaşlarımızı öder; öyle değil mi? Fakat insanların çoğu zaman hatırlamadığı şey, -abartmış olacağım, lakin söyleyeceğim- bilgisayarın gerçekte matematiğin temelleri ile ilgili felsefi bir sorunu aydınlatmak için icat edilmiş olduğudur.

Şimdi, bu fikir saçma gibi görünüyor; ancak bunun doğru taraf ları var. Aslında, bilgisayara, bilgisayar teknolojisine yol açan birçok fikir silsilesi vardır. Bu fikirler, matematiksel mantık ile matematiğin sınırları ve gücü hakkındaki felsefi sorunlardan türemiştir.

Bu tür sorunlardan ilham alan, oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir modeli olan Turing makinesini icat etmiş olan bilgisayar öncüsü Turing’dir. Turing bu makineyi Hilbert’in matematik felsefesi ile ilgili bir sorusunu çözmeye çalışırken icat etmiştir. Turing, bunu herhangi gerçek bir bilgisayar henüz icat edilmeden önce yaptı ve sonra da sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu, İngiltere’deki ilk bilgisayarlar Turing tarafından yapıldı.

Buna ilâveten, Birleşik Devletler’de bir teknoloji olarak bilgisayarların icadını, (maalesef savaş çalışmalarının ve atom bombası inşa etme çalışmalarının bir parçası olarak) üretilmesini teşvik etmede faydalı olan von Neumann, Turing’in çalışmalarını çok iyi biliyordu. Ben Turing’i, Turing’in çalışmalarının öneminden bahseden von Neumann’ı okuyarak öğrendim.

Demek ki, benim bilgisayarların kökeni hakkında söylediklerim tümüyle bir uydurma değildir. Lâkin bu mevzu entelektüel tarihin unutulmuş bir parçasıdır. Bu konuşmanın bitiş yargısı ile başlayayım: Bunların çoğu bir bakıma Hilbert’in çalışmalarından türemiştir. Bu yüzyılın başlarında çok iyi bilinen bir Alman matematikçi olan Hilbert, matematiğin tümünü, bütün matematiksel akıl yürütmeleri -sonuç çıkarmaları- biçimselleştirmeyi önerdi. Ve Hilbert’in bu önerisi çok büyük, görkemli bir fiyaskodur!

Bir bakıma, bu, büyük bir başarısızlıktır. Çünkü, matematiksel akıl yürütmenin biçimselleştirilemeyeceği açığa çıkmıştır. Bu, benim bugün üzerinde konuşacağım, 1931′de Gödel tarafından yapılan çalışmanın meşhur bir sonucudur.

Fakat bir başka yönden, Hilbert gerçekten haklıydı; çünkü biçimcilik (formalizm) bu yüzyılın en büyük başarısı olmuştur. Akıl yürütme veya mantıksal çıkarım için değil de, programlama ve hesaplamada biçimcilik son derece başardı olmuştur. Eğer bu yüzyılın başındaki mantıkçıların çalışmalarına bakarsanız, onlar akıl yürütme, mantıksal çıkarım ile matematik yapma ve sembolik mantık için biçimsel diller üzerine konuşuyorlardı; bununla beraber onlar aynı zamanda programlama dillerinin ilk versiyonlarından bazılarını da icat etmişlerdi. Dahası, bu programlama dilleri, bizim her zaman birlikte yaşadığımız ve beraber çalıştığımız biçimciliklerdir! Bunlar çok önemli teknolojilerdir.

Böylece, akıl yürütmek için biçimcilik işlemedi. Matematikçiler biçimsel diller içinde akıl yürütmezler. Fakat hesaplama, programlama dilleri için biçimcilik, kökü bu yüzyılın başında Hilbert’e dayanan, matematik ile ilgili epistemolojik, felsefi soruları açıklamaya çalışan biçimci görüş için de bir bakıma doğrudur.

Şimdi size şaşırtıcı bir sonucu olan bu öyküyü anlatıp, entelektüel tarihin bu şaşırtıcı parçasından bahsedeceğim.

Müsaadenizle, yaklaşık bir yüzyıl öncesine gidip, Cantor ile başlayalım…

Georg Cantor: Mesele şudur: Normalde matematiğin statik, değişmeyen, mükemmel, mutlak doğru, mutlak gerçek vs. olduğunu düşünürsünüz; değil mi? Fizik değişken olabilir; fakat matematikte nesneler kesindir! Hâlbuki durumun tam olarak böyle olmadığı açığa çıktı.

Geçen yüzyılda matematiğin temelleri, matematiğin nasıl yapılması gerektiği, neyin doğru olup olmadığı, matematikte geçerli bir ispatin ne olduğu gibi konular üzerine birçok uyuşmazlık yaşandı. Bunun üzerine neredeyse kan akıtılıyordu… İnsanların korkunç kavgaları oldu ve bu öykü akıl hastanesinde son buldu. Bu, oldukça önemli bir uyuşmazlıktı. Bu uyuşmazlık çok iyi bilinmiyor ama bunun entelektüel tarihimizin ilginç bir parçası olduğunu düşünüyorum.

Birçok insan görelilik kuramı hakkındaki uyuşmazlıktan haberdardır. Einstein, başta çok tartışıldı. Ve sonra kuantum mekaniği üzerine olan uyuşmazlık… Bunlar, yüzyıl fiziğinin iki önemli devrimidir. Fakat daha az bilinen şey, pür (katıksız) matematikte de müthiş devrimlerin ve uyuşmazlıkların olduğudur. Bu, gerçekte Cantor ile başladı.

Cantor’un yaptığı şey, bir sonsuz kümeler kuramı icat etmekti.

Cantor bunu yaklaşık yüzyıl önce icat etti; hatta, yüzyıldan biraz daha uzun bir süre öncedir. Bu kuram çok büyük bir devrim niteliğinde olup, aşın derecede maceralı bir iştir.

Bu, Cantor’un asıl hüneri olan sonsuz kümelerin boyutunu ölçmek için yaptığı ısınma turu niteliğinde harikulade hayali ve üretici bir şeydi; dahası bu, çok aşırı tepkiler aldı. Cantor’un yapağı şeyi bazıları sevdi, bazıları ise onun bir akıl hastanesine konulması gerektiğini düşündü! Gerçekten de bu eleştirilerden sonra Cantor’da sinir bozukluğu (nevrasteni) başladı. Cantor’un çalışmaları, çok etkili olup nokta-küme topolojisi ve yirminci yüzyıl matematiğinin diğer soyut alanlarına zemin aça. Fakat çalışmaları, aynı zamanda tartışmalıydı. Bazıları, bunun, gerçek değil hayali bir dünya olduğunu nü, ciddi matematikle bir alâkası olmayıp teoloji olduğunu söyledi! Dahası, Cantor asla iyi bir mevki elde edemedi ve hayatının geri kalanını da ikinci sınıf bir enstitüde harcadı.

.Bertrand Russell:Matematikçi olarak başlayan Bertrand Russell sonraları filozof olarak kendine bir yön çizmiştir. Bertrand Russell, önce Cantor kuramında, sonra mantığın kendisinde rahatsız edici bir paradoks demeti keşfetmiştir. Bunlar öyle durumlardır ki, orada akıl yürütmeler doğru gözükürken aynı zamanda çelişki doğurmuştur.

Herneyse, bu paradokslardan en çok bilineni bugünlerde Russell paradoksu olarak anılanıdır. Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini düşünün. Ve sonra şunu sorun: “Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir! Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır, ve tersi! Bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden bir berberin durumuna benzer. Paradoks, “Berber kendi kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor. Berber, kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş etmez. Böylece berber, bu kuralı kendine uygulayamaz!

Şöyle diyebilirsiniz: “Bu berberden kime ne!” Bu, her halükarda aptalca bir kuraldır ve her kuralın istisnası vardır! Fakat bir küme ile, matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız, bu sorunu halletmek o kadar da kolay değildir. O halde, doğru görünen akıl yürütmeler sizi zora sokuyorsa öyle kolay omuz silkemezsiniz!

Cantor’un sonsuz kümeler kuramının ateşlendirdiği krize tepkilerden biri biçimciliğe sığınmak olmuştur. Eğer kusursuz görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntıya düşüyorsak, o halde çözüm sebmolik mantığı kullanmaktır.

Yapay bir dil oluşturarak o dilin içinde çok dikkatli olup, oyunun kuralları neyse onu söyleyerek çelişkilere düşmediğimizden emin olabiliriz. Çünkü, burada kusursuz görünen bir parça akıl yürütme var ki, bu çelişkilere yol açmaktadır. İşte biz bu sorunun üstesinden gelmek istiyoruz. Fakat, doğal dil muğlaktır -bir zamirin kime işaret ettiğini asla bilemezsiniz-.

Bundan dolayı, gelin bir yapay dil oluşturalım ve her şeyi çok net kılalım ve bütün çelişkilerinden kurtulduğumuza emin olalım! Bu biçimcilik düşüncesiydi.

Şimdi ben, Hilbert’in matematikçilerin böyle mükemmel bir yapay dil içinde çalışmak zorunda olduklarını kastettiğini zannetmiyorum. Bu yapay dil daha çok bir programlama diline benzeyecektir; fakat amaç hesap yapmak değil, akıl yürüterek, matematik yapmak ve çıkarım yapmaktır. Bu, Hilbert’in düşüncesidir. Fakat Hilbet, düşüncesini hiçbir zaman bu şekilde ifade etmedi. Çünkü, o zaman programlama dilleri yoktu.

Peki, buradaki düşünceler nelerdir? Her şeyden önce, Hilbert aksiyomatik yöntemin önemini vurguladı.

Bu şekilde matematik yapma fikri, antik Yunanlılara kadar ve özellikle güzel ve açık bir matematiksel sistem olan Öklit geometrisine kadar dayanır. Lâkin, bu yeterli değildir; Hilbert aynı zamanda sembolik mantığı kullanmamız gerektiğini söylüyordu.

Sembolik mantığın da uzun bir geçmişi vardır: Leibniz, Boole, Frege, Peano… Bu matematikçiler akıl yürütmeyi cebire benzetmek istediler. İşte Leibniz: Kimin haklı olduğunu tartışma yerine hesaplama ile münakaşadan kaçınmayı önerdi ve münakaşadan kastı muhtemelen siyasi ve dini münakaşalardı! Kavga yerine masaya oturabilmeli ve “Beyler, buyurun hesaplayalım..” demelisiniz diyordu. Ne güzel bir düş!…

Matematiğin makul bir felsefi beyanı olduğu iddiasını taşıyan her felsefi ekol, bu soruların her birine tatmin edici cevaplar verebilmelidir:

1- Matematiği diğer beşeri bilgilerinden farklı kılan şeyler nelerdir,

2- Matematik ne hakkındadır veya matematiğin konusu nedir,

3- Matematik hakkında evrensele yakın bir uzlaşım niçin vardır,

4- Matematiksel bilgiyi nasıl elde ederiz,

5- Matematikçinin sosyal olaylardan etkilenmesine rağmen, matematik niçin zaman, mekân, ırk gibi değişik unsurlardan bağımsızdır,

6- Sonsuz var mıdır,

7- Pür matematik, ‘gerçek’ dünyada nasıl bu kadar karşılık bulabilmekte ve kullanışlı olabilmektedir,

Bu soruların tümü, ne mantıkçılık ne sezgicilik ne de hümanizm veya başka bir felsefi ekol tarafından yetkin ve doyurucu bir şekilde cevaplanamamıştır. Bu yaklaşımların kimi bazılarını açıklamada ötekilerden daha iyi olsa da, her biri kendi eksikliklerinden mahfuz değildir. Dolayısıyla, matematik felsefesindeki mevcut yaklaşımların her biri sadece sınırlı bir alanda tatmin edicidirler.

Eğer matematiksel nesneler bizden bağımsız olarak zaman ve mekân dışında var iseler, biz bunlar hakkında nasıl bilgi sahibi olabiliyoruz? Böyle bir âlem niye var, nasıl var? Hersh, “Matematik felsefesindeki, yakın zamanlarda karşılaşılan sorunlar, nihai olarak dinin bilimden sürgün edilmesinin bir sonucudur.” demektedir. Tanrı’nın varlığı ve ilmi kabul edildiğinde matematik felsefesini meşgul eden ‘Sayılar nasıl vardır?’, “Matematiksel doğrular, niçin zamandan ve mekandan bağımsız görünmekteler?’, Matematik “gerçek dünya”da niçin çalışır?” türü soruların tamamı olacaktır. Çünkü, Tanrı için bunlar sorun olamaz.

Aslında, matematiğin ontolojisi ile ilgili sorunlar çok çetindir. Öyle ki, dinin tamamen bilimsel düşünceden silinmesi ile bazı matematikçiler için mistik inançlar devreye girmiştir. Burada, Macar Yahudilerden Amerika’ya göç etmiş, 20. yüzyılın en üretken matematikçilerinden olan, Paul Erdös’e değinmek yerinde olur.

Erdös, bir toplanda matematiğin biz keşfetmeden önce var olup olmadığı sorununu hatırlattıktan sonra, bir kitaptan bahseder. Ona göre, transfinit bir kitapta bütün güzel matematiksel ispatlar mevcuttur; Tanrı bazen matematikçi kullarına lütufta bulunup o kitabın yapraklarını göstermektedir. Erdös, meslektaşlarının güzel bir ispat yapması karşısında iltifat için, ‘doğrudan kitaptan’ tabirini kullanırdı. Erdös’ün tanıtıldığı ve onun “kitap” hakkındaki fikirlerinden bahsedildiği bir toplantıda, Erdös araya girmiş ve “Tanrı’ya inanmak zorunda değilsiniz ama Kitab’a inanmalısınız.” demiştir.

Matematikçiler matematiksel hakikatin bizim dışımızda var olduğu inancını sürdürmektedirler. Tanrı hâlâ sevgili matematikçi kullarına ‘kitap’tan ispat yaprakları göstermeye devam etmektedir. İşin ironik tarafı da vardır: Son yıllarda, birçok filozof-matematikçi tarafından, matematikçinin pratiğine daha çok dikkat çekildiği hâlde, matematikçinin pratiğinde bu ‘mistik’ inanışın sürdürüldüğüne, metafizikten kaçınma tavrından dolayı az dikkat çekiliyor.

 

MATEMATİK TARİHİ – 5

MATEMATİK TARİHİ – 5

(MATEMATİK TARİHİ – 4 başlıklı yazımızın devamı)

DÖRDÜNCÜ DÖNEM

KLASİK MATEMATİK DÖNEMİ

Bu dönemde birçok önemli eser yazılmış, kalkülüs bulunmuş, Euler, Laplace, Langrange gibi isimler matematiğe onlarca teorem kazandırmıştır.

 

Euler, matematiği diğer alanlara taşıyarak 30 binden fazla sayfa çalışma yayınlamıştır. Euler ile matematikte analiz yeni bir dal haline gelmiştir. Laplace’ ın çalışmalarından günümüzde en çok mühendislik dalları yararlanmaktadır. Olasılık teorisi hakkında ilk önemli eseri yazan yine Laplace’tır.

Dönemin önemli çalışmalarından birisi de türevden bağımsız entegral kavramı açıklanmış ve Cauchy tarafından türevin limit ile olan ilişkisi bulunmuştur. Yani türev entegralin tersi olmaktan çıkmıştır.

Daha sonraları Riemann, Weierstrass, Cauchy gibi isimler kompleks fonksiyonlar teorisini oluşturmuşlardır. Dirichlet bugün kullanılan fonksiyon tanımını yapmıştır. Sonucunda ise fourier serileri ile ilgili yarım kalan çalışmalara devam edilmiştir. Yine bu dönemde grup – halka – idealler teorisi, matris cebiri, vektör uzayları gibi teoremler bulunup geliştirilmiştir.

Bu dönemin matematiğin bakış açısının değişmesinde önemli bir yeri bulunmaktadır. Matematik önceki dönemlerde hesaplamalar için kullanılırken, bu dönemle birlikte hesaplamalardan daha çok kavramlar ile ön plana çıkmaya başlamıştır. Böylece yeni bir döneme geçilmiştir.

BEŞİNCİ DÖNEM

MODERN MATEMATİK DÖNEMİ

1900 lü yıllardan başlayan ve halen içerisinde olduğumuz zamanı kapsayan bir dönemdir. Bu dönemde matematik daha geniş kitlelere hitap edip çalışma alanını genişletmiştir.

 

MATEMATİK TARİHİ – 4

MATEMATİK TARİHİ – 4

(MATEMATİK TARİHİ – 3 başlıklı yazımızın devamı)

ÜÇÜNCÜ DÖNEM 

İSLAM DÜNYASI MATEMATİĞİ

Yunan bilim adamlarının doğuya göç etmeye başlaması ve İslam devletlerinin yükselmelerine bağlı olarak İslam dünyasında bilimin ve akılcılığın ön planda olduğu bir düşünce gelişmeye başlamıştır. Hatta, Abbasi halifeleri Mansur, Harun Reşit ve El-Mamun, Bağdat’ta “Dar’ül Hikmet “ ( Aklın Evi) adı verilen bir medrese kurmuşlar ve burada bugüne kadar yazılmış tüm bilimsel kitaplarını çevirmeye başlamışlardır. Matematikte İslam döneminin en önemli özelliği Yunan matematiğinin devamı degil Mezopotamya, Mısır ve Yunan matematiğinin sentezi olmasıdır.

İSLAM MATEMATİĞİNDE ARİTMETİK

Aritmetikte temel işlem olarak adlandırılan; toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kesirli ifadelerle ilgili bilgiler, ilkel şekliyle, Eski Mısır ve Mezopotamya’da zaten bulunmuş ve işlemlerde kullanılmaktaydı. Fakat, ondalık sayılarda kullanılmakta olan virgül kavramı bu dönemde ilk defa kullanılmıştır. Virgüllü sayıları kullanan ilk kişinin 15. Yüzyılda matematik ve astronomi dalında çalışan bir bilim adamı olan Gıyasüddin Cemşid’in yazmış olduğu Risalet’ül Muhitiyye adlı kitapta kullanıldığı kayıtlardan anlaşılmaktadır.

İSLAM MATEMATİĞİNDE CEBİR

Bazı matematik tarihi kitaplarında günümüzde de kullanılmakta olan cebirsel bilgilerin çoğunluğunun Türk – İslam bilim adamları tarafından elde edildiği belirtilmektedir. Bu çalışmalar çoğunlukla 8. ile 16. Yüzyılda gerçekleştirilmiştir.

İslamiyetin başlangıç yıllarında; dini günlerin tespiti, namaz vakitlerinin belirlenmesi, takvim hazırlanması gibi dini problemlerle uğraşılmış olunduğu muhakkak ise de, o devir İslam matematikçilerinin, arazi ölçüleri, veraset hesapları, yükseklik tayini ve günlük yaşantı için gerekli pratik ölçme ve hesaplamalar hakkında bazı çalışmaların varlığı söz konusu olabilir..

Harizmi’nin Al-Cebir adlı kitabında ikinci dereceden bir polinomu adım adım çözmüştür. Fakat, negatif sayılar kullanılmadığından bugünkü ismiyle algoritmik yaklaşım yöntemi ile çözüm yapmıştır. Harizmi ayrıca bir hesap kitabı yazmıştır. Bu kitapta sıfır rakamı kullanılmıştır ancak boşluk dolduran bir sembol olarak gösterilmiştir. Kitabında sayılarla ilgili problemler ve çözümleri, toplama, çıkarma çarpma ve bölme gibi dört işlemlerin tanımları ve rakamlarla sayılar türetmeyi ve türetilen sayıların okunması ile ilgili kurallar açıklanmıştır.

Cebir dalında önemli çalışmaları bulunan bir diğer matematikçi ise Ömer Hayyam’ dır. Ömer Hayyam ( 1048 – 1131) cebir kitabında polinomların geometrik anlamlarını bulmaya çalışmıştır. En önemli özelliklerinden birisi üçüncü derece denklemlerin birden çok kökü olabileceğini biliyor olmasıdır.

İSLAM MATEMATİĞİNDE GEOMETRİ

Geometrinin çabuk ilerlemesini sağlama ve geometri ile cebirin analitik geometri adı altında bir arada  kullanılmaya başlanılması bu dönemde gerçekleşmiştir. Bu dönem matematikçilerinin insanlığa en büyük katkıları matematik ve geometriyi günlük hayata taşımış olmalarıdır. Özellikle Yunan matematiğinin kullanılabilirliği ve anlaşılabilirliği İslam Dönemi matematikçilerinin çeviri ve yorumları sayesinde olmuştur.

Harizmi, Ömer Hayyam, Ebu’l Vefa bu dönemin önemli geometricileri arasında sayılabilir.

Bazı kaynaklarda analitik geometri kavramının 1637 yılında La Geometri ile başlatıldığı yazılmış olsa bile 830 lu yıllarda Harizmi Arapça olarak Cevri ve’l Mukabele adlı kitabında bahsetmiştir.

İslam Döneminde matematikçiler çok önemli çalışmalara imzalarını atmışlardır. Örneğin; trigonometrinin Avrupa ‘ da yayılmasını sağlayan bilim adamlarının başında Sabit bin Kur-ra gelmiş, Ebul Vefa 7 ve 9 kenarlı düzgün çokgenlerin yaklaşık olarak çizmiştir. Özellikle tıp, astronomi ve geometrik çalışmalar dikkat çekmektedir bu dönem matematiğinde. Bu çalışmaların sonucunda ise rasathaneler (gözlemevleri) kurulmuştur. İçerisinde bugünkü trigonometrinin temel hallerinin anlatıldığı ve 1 er derece arayla sinüs değerlerinin bulunduğu kitap olan Ziyc ler yazılmıştır. Ayrıca yine Gıyasüddin Cemşid 1 derecelik bir yayın sinüs değerini virgülden sonra 18 haneye kadar doğru bir şekilde hesaplamayı başarmıştır.

Bazı görüşlere göre, Batı dünyası İslam döneminin yeniliklerini görmemezlikten gelmiş, hatta bu dönemde sadece Yunan Matematiğinin korunmuş, Avrupa’ya tanıtılmasını sağlayan bir nevi katalizör görevi yapılmıştır. Fakat bu düşüncelerine rağmen Nasireddin Al- Tusi ( 1201 – 1274 ) , Ömer Hayyam, Harizmi, Gıyasüddin Cemşid gibi önemli isimlerin eserlerinden günümüzde bile halen yararlanılmaktadır.

Özellikle Nasireddin Al-Tusi Ziç-i İlhani hazırlamıştır ki burada trigonometrik çalışmalar için kullanılan sinüs cetveli bulunmaktadır. Ayrıca trigonometrinin matematiğin ana dalı olarak kabul edilmesini sağlayan düzlem ve küresel tirgonometri ile ilgili çalışmaları batılı matematikçilerin astronomi dalında ilgilerini çekmiştir. Muhteşem bir hesap yeteneği olan Cemşit Al–Kaşi isimli bir diğer bilgin daha bu dönemde dikkat çekmektedir. Özellikle  pi (Π) sayısının virgülden sonraki 16 hanesini hem 10 , hem de 60 tabanlı sayı sisteminde doğru olarak vermiştir. Cemşit Al Kaşi ‘ nin Aritmetiğin Anahtarı adlı kitabı ispat ve teorem zenginliği bakımından döneminin en iyi kitaplarından birisi olarak gösterilmektedir. Ondalık kesirlerde işlemleri açıklayan yine Cemşit Al Kaşi ‘ dir.

Bu bilim ve aydınlık çağı Yunan tarihinin bitmesine benzer nedenlerle sonlanmıştır. Dini eğitim veren ulemaların çoğalması ile birlikte matematik gereksiz bir eğitim olarak görülmüş dini ağırlıklı eğitim benimsenmiştir. Hatta en son bilimle uğraşan insanlardan birisi olan Ali Kuşçu kendi oğlu tarafından öldürülmüştür. Osmanlı devleti yükselmiş ve dünya yeni bir olgu ile karşılaşmıştır. Batılı devletlerin Müslümanlığı kabul eden Osmanlı devletine karşı birleşmeleri ve yapılan savaşlar sonucunda bilimden daha farklı kaygılar oluşmuştur. Böylece yeni bir döneme daha geçilmiştir.

 

Devamı MATEMATİK TARİHİ – 5 başlıklı yazımızda.

MATEMATİK TARİHİ – 3

MATEMATİK TARİHİ – 3

(MATEMATİK TARİHİ – 2 başlıklı yazımızın devamı)

İKİNCİ DÖNEM

GREKLER ( ESKİ YUNANLILAR) MATEMATİĞİ

Yunan medeniyetinin M.Ö 479 yılında Persleri Atina‘dan çıkartmalarıyla başlamış olduğu kabul edilse bile Yunan matematiği daha eski yıllarda başlamıştır. Yunan matematiğinin Tales (M.Ö 624 – 547) ve Pisagor (M.Ö 569 – 475) ile başladığı kabul edilmiştir. Tales Aydın’da (Milet) doğmuş olmasına rağmen geometriyi Mısır’a giderek öğrenmiştir. Mısır’da aldığı geometri eğitiminden sonra Tales Milet’ te etrafındaki insanlara geometri bilgisini paylaşmıştır. Tales’ in farklı diğer özellikleri ise; matematiğe –deneysel olarak doğrulamaya dayanmayan- akıl yürütmeye dayalı, soyut ispatı kazandırmış olması ve ayrıca ilk filozof olarak kabul edilmesidir.

Diğer bir bilgin olan Pisagor ise Samos (Sisam) adasında doğduğu bilinmektedir. Pisagor, Tales’in öğrencilerinden olduğu ve Tales gibi mısır’a giderek orada geometriyi öğrendiği söylenmektedir. Daha sonraları ise Mısır tapınaklarına gidip dini bilgiler öğrenip sonrasında ise Persler tarafından Babil’e 5 sene sürecek olan sürgüne gönderildiği bilinmektedir. Bu süre boyunca Pisagor eğitimine devam edip M.Ö 540 lı yıllarda eski Yunanistan’a geri döndüğünde ise yarı dinsel yarı matematiksel bir okul oluşturarak çevresindekilere öğrendiklerini öğretmiştir. Daha sonra İtalya’ ya yerleşerek Yunanistan’da kurduğu okula benzer bir okul daha kurmuştur, fakat bu okul diğerinden biraz daha farklıdır. Bu okulun üst düzey grubundaki kişilere “matematikoi”  adı verilmekte ve birbirlerine bir tür sadakat yemini ile bağlanmaktadırlar. Diğer bir grubu ise matematik öğrencileri oluşturmaktadır.

Bu dönem bilim ve sanatta altın çağ olarak kabul edilebilir. Günümüze kadar gelmiş ve hala kullanılan birçok eser bu dönemde yazılmıştır. Arşimed, Pisagor, Öklid , Platon gibi ünlü bilim adamları her ne kadar Mısır’dan bazı eğitimleri almış olsalar bile Eski Yunanistan‘da okullar açarak ülkelerini geliştirmek için çaba göstermişlerdir.

 

ESKİ YUNANLILARDA GEOMETRİ

Eski Yunanlılarda geometri denilince akıllara Demokrit, Pisagor, Thales, Öklid gibi isimler gelmektedir. Fakat bütün bu bilim adamlarının hepsi Mısır’dan geometri öğrenmişlerdir.

Tales’ in özellikle üçgenlerle ilgili çalışmalar yaptığı bilinmektedir. Örneğin; ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğu gerçeğinin ilk defa Tales tarafından söylendiği hakkında bilgilere ulaşılmaktadır. Pisagor‘un geometri çalışmalarında belki de açtığı okullar nedeniyle geometrinin gelişmesine katkısı büyük olduğu kaçınılmaz bir doğrudur. Öklid’in Elementler adlı geometri kitabı bu alandaki en önemli çalışmalardan birisi sayılmaktadır. Elementler adlı kitaptaki geometri bilgileri yaklaşık 2000 yıl neredeyse hiç değişiklik yapılmadan geometri derslerinde kullanılmıştır ve hala Öklid geometrisi kullanılmaktadır. Ama 1700 lü yıllardan sonra günümüze uyarlanması açısından modernize edilmiştir.

Yunanlıların çalışmalarının en önemli sonucu geometriyi matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır. Çünkü, bir bilim dalının matematiksel olarak kabul edilebilmesi için ispatlanabilmesi , sistematik bir bilim olması gerekmektedir ve yunanlılar geometriyi bu hale getirmişlerdir.

 

ESKİ YUNANLILARDA ARİTMETİK VE CEBİR

Matematiğin ve felsefenin en önemli isimlerinden birisi olan Platon (M.Ö. 427-347)  ile matematik daha akılcı sistematik hala gelmiştir.  Platon, ilk eğitimini Sokrat’tan almış, Sokrat’ın intiharından sonra ise çeşitli ülkeleri dolaşıp en son İtalya’da Pisagor’un okulunda eğitimine devam etmiştir. Platon’ da diğerleri gibi Yunanistan’a geri döndükten sonra özellikle felsefe, geometri, müzik ve jimnastik derslerinin öğretildiği  tahmini olarak 900 yıl kadar açık kalmış olan bir okul kurar ve bu okula Akademius adını verir. Bu akademinin girişinde “her kim ki geometrici değildir, içeriye girmesin” cümlesinin yazılı olduğu söylenmektedir. Platon bu okulda daha çok düşünceyi kontrol edebilme üzerine çalışmalar yapıyordu ve matematiğin bunun için en uygun bilim dalı olduğunu düşünmekteydi ve öğrencilerine öğretmen değil de sanki yönetici olarak yaklaşıp yapılması gereken görevleri onlara söyleyip geri çekilerek çalışmalarına destekler vererek okulu yönetiyordu. Bu akademide yetişmiş olan ilk en önemli matematikçilerden birisi Öklid (Euclid) ( M.Ö.325-265); en son önemli matematikçi Proclus (M.S. 411-485) tur. Pisagorcular özellikle sayılarla ilgili çalışmalarda bulunmuşlar ve hatta doğal sayıların Tanrının kendisi olduğuna inanmışlardır. Neden bu şekilde düşündüklerini ise; tüm evrenin doğal sayılardan ve bu sayıların oranlarından meydana geldiğine inanışlarıyla açıklamaktaydılar. Sayılara “eril”, “dişil”, “dost” gibi isimler vermişlerdir. Fakat Pisagorcular kendi içlerinde bir paradoks yarattılar. Şöyle ki; Pisagor Teoremine göre bir dik üçgende hipotenüsün karesi diğer iki dik kenarların kareleri toplamına eşittir. Dik kenarları 1 birim uzunluğunda olan ikizkenar dik üçgeni düşünelim. Bu demektir ki; teoreme göre hipotenüsün karesi 2 birimkare olmalı. Ama karesi 2 olan bir doğal sayı bulunmamaktadır. Bu anlamda doğal sayılar her konuda yeterli değildir. Pisagorcuların inandıkları dinsel bilgiler ile yaptıkları matematik arasında bir paradoks yaratan yine kendileri olmuşlardır. Daha sonraları Platonun akademisinde de hocalık yapmış olan Eudoxus adlı matematikçi Pisagorcuların sayı tanımlarını genişletip irrasyonel sayıları da matematiğe kazandırmıştır. Böylece karesi 2 olan bir sayı bulunmuştur ve Pisagor teoreminin kullanım alanı genişlemiştir. Eudoxus ayrıca kalkülüsün yapı taşlarından birisi olarak gösterilen integral konusunun temeli olarak bilinen  “exhaustion” yöntemini geliştirip, bir evren modeli tasarlamaya çalışan ilk bilim adamıdır. (“Exhaustion” yöntemi şekli düzgün olmayan, alanı ya da hacmi bilinmeyen bir cismin alan veya hacmini, alanı ya da hacmi bilinen şekillerle doldurarak o alanı yada hacmi hesaplama yöntemidir.)*

Çoğu kaynaklarda cebir denildiğinde, Eski Roma çağı Yunan matematikçisi Diofantos’un (225-400) adından bahsedilir. Diofantos un Aritmetika adlı kitabında bazı cebirsel konular ile birlikte 2. dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgili bilgiler verilmiştir. Fakat kullandığı ifadelerin yunan işaretlerinden farklı olması nedeniyle cebirsel anlamda çok fazla bir ilerleme görülmemektedir.

Grek Dönemi çok fazla bilim adamına ve modern bilime ev sahipliği yapmış olmasına rağmen neden sona erdiği sorusunu kısaca açıklayalım. Birinci neden olarak gösterilen durum Roma’nın Eski Yunanistan’ın 3 bölgesine de hakim olmalarıdır. İlk zamanlarda bilim ve sanatta hayat eskisi gibi devam etmiş olmasına karşın ekonominin bozulması ile birlikte bu ilerleme dönemi bitmiş duraklamaya geçilmiştir bilimsel alanda.

Yunan döneminin kapanmasının diğer nedeni olarak ise; Hristiyanlık gösterilmektedir. Çünkü ; Hristiyanlık hızla yayılmaya devam edip Roma’nın resmi dini haline geldikten sonra kiliselerin siyasi ve kültürel alanda oluşan söz hakkı durumları ile birlikte dini eğitimden başka eğitim kabul etmemeye başlanılmıştır. Hatta 390 de Kril (Cril)  isimli bir papazın taraftarları İskenderiye kütüphanesini yakmıştır ve sonrasında Museum’da çalışan bilim insanlarına saldırılmıştır. Son olarak 421 de Museum’da ders veren ve tarihin ilk kadın matematikçisi olarak bilinen Hypatia Kilisenin aşırı dinci taraftarları tarafından linç edilerek öldürülmüştür. Bu olaydan sonra Museum kapanmış ve 641 de Müslümanların Mısırı fethi sırasında da tamamen yanmıştır. Bu okullarda çalışan bilim adamları ise doğuya göç etmeye başlamışlardır. Böylelikle matematikte Grek Dönemi bitmiş yeni döneme geçilmiştir.

 

Devamı MATEMATİK TARİHİ – 4 başlıklı yazımızda.

MATEMATİK TARİHİ – 2

MATEMATİK TARİHİ – 2

(MATEMATİK TARİHİ – 1 başlıklı yazımızın devamı)

 

İLK DÖNEM

ESKİ MISIR’DA ARİTMETİK

Eski Mısırlıların kullandıkları aritmetiğin en önemli özelliklerinden birisi ilk sayma sistemlerinin kullanılmış olmasıdır. M.Ö. 3300 lü yıllarda kullanıldığı düşünülse bile ilk yazılı kalıntılar M.Ö. 2000 lerde karşımıza çıkmaktadır. Mısırlılarda henüz kağıt olmadığından dolayı yazılı metinlerini ve kurallarını “papirüs” adı verilen tomarlara saklamışlardır. Papirüs, Nil deltası da büyüyen, kırmızımtırak renkte, saz türü bir bitkinin, ortalama 15-25 metre uzunluğunda ve 30-50 santim genişliğinde olan yapraklarıdır. Bu yapraklar kesilip, birleştirilip, preslendikten ve bazı basit işlemlerden geçirildikten sonra, kağıt yerine yazı yazmak için kullanılırmış. Bir papirüsün ortalama ömrü 300 yıldır; 300 yıl sonra, nem, ısı ve benzeri nedenlerle, pul-pul olup dökülmektedir. Papirüsün ömrü ve savaşlardaki çıkan yangınlar doğa koşulları gibi nedenlerden dolayı günümüzde mısırlılardaki aritmetik ile ilgili çok az bilgi elde edilebilmiştir.

Günümüze kadar gelebilmiş 2 papirüs tomarlarındaki bilgilere göre Mısırlılar içerisinde milyonların da olduğu bir sayma sistemi geliştirmişlerdi. Mısırlılar yedi farklı şekli bir araya getirerek sayıları ifade edebiliyorlardı. Örneğin; 1 rakamını “/” , 10 sayısını “ Atnalı” şeklinde göstermiş oldukları görülmektedir. Yine papirüslerdeki bilgilere bakılarak mısırlıların onluk sistem kullandıkları anlaşılmaktadır.

ESKİ MISIR’DA CEBİR

Şu anda British Museum’ da sergilenen Rhind Papirüsunda 87 tane cebir sorusu ve cevapları bulunmaktadır. Bu papirüstaki bilgilere bakılarak Mısırlıların cebirsel denklemleri çözebildikleri anlaşılmaktadır. Özellikle “aha” kelimesi üzerinde durulmaktadır bu kâğıtlarda. Aha grup yada miktar anlamına gelmektedir. Eski Mısır‘da matematiksel bir çözüm tekniği olarak kullanılmaktadır.

Aha metodu ile çözümlenen cebirsel denklemlere günümüzdeki karşılıkları ile birkaç örneğe yer verelim;

Ø  x/y = 4/3 ; x.y = 12

Ø  x/y = 40 ; x/y = (1/3) + (1/15) = 2/5

Ø  x+ y= 100 ; y= (3/4) x

Daha çok 9. Sınıf matematiğini andıran bu denklem çözümleri matematiğin bugünkü haline gelmesinde önemli bir katkısı olduğuna inanılmaktadır.

MEZOPOTAMYALILARDA CEBİR

Eski Mısır (M.Ö. XVIII y.y.) devrine ait papirüslerde cebir işlemleri gibi yorumlanan problemlere rastlanması ve karsımıza çıkan Babil’de matematiğin M.Ö. 3000 yıllarında başlamış olduğu düşünülürse , Mısırlıların Babillilerle bilgi alışverişi içinde bulunduklarını söylemek mümkündür. Bugün bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden birçok problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Bu cümlemi örneklemem gerekirse; bu tablette, bir dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor. Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor.

Mezopotamyalıların sayı sistemi şimdilerde denizcilik ve astronomide kullanılan bir sistem olan 60 tabanlı bir sayı sistemidir. Bu sistemin modern zamandaki en önemli yansıması ise; saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmüş olmasıdır. Mezopotamyalıların bu sistemi kullanmalarının nedenleri ile ilgili değişik görüşler varsa da kesin bir görüş yoktur. Bu görüşlerin birincisi; 60 sayısının 2,3,4,5,6,10,12,20,30 gibi çok sayıda bölenleri olmasıdır. Çünkü günlük hayatta birçok alanda rahatça kullanılabiliyordu. Bir diğer görüş ise; bölgede yaşayan diğer medeniyetlere uyum sağlama çabasıdır. Mezopotamyada yaşamış olan diğer medeniyetler özellikle 10 ve 12 tabanlı bir sistem kullanmışlarıdır. Ve 60 da bu tabanların en küçük ortak katıdır. Bu konuda ileri sürülen en son görüş ise; İnsan anatomisi ile ilgili geliştirilmiştir. Bir insanın baş parmak dışındaki 4 parmağında 12 eklem yeri ve bir elde 5 parmak vardır , bu iki sayının çarpımı ise 60 ı vermektedir. Mezopotamyalılar insanlardaki eklem yerlerini saymak için 60 tabanlı bir sistem geliştirmişlerdir, denilmektedir.

 

MEZOPOTAMYALILARDA GEOMETRİ

Mezopotamyalılarla ilgili bilgilere Susa, Vatikan 8512, Tell Halman, Plimpor 322, British museum 85114 ve Elam isimleri verilen tabletlerden ulaşılabilmektedir. Bu tabletlerdeki bilgilere göre Mezopotamyalılar Öklid, Pisagor ve Thales teoremlerinin basit hallerini kullanabiliyorlardı. Babilliler, bugün Eski Yunandan beri Pisagor Bağıntısı diye adlandırılan teoremi biliyorlardı. M.Ö. 18. yüzyıla (Birinci Babil İmparatorluğu Devri) ait tablette, bugün Pisagor Bağıntısı dediğimiz: b2 + c2 = a2 formülüyle bağlı; a, b, c gibi sayılar üç sütun üzerine sıralanmış; birinci sütuna c, ikinci sütuna a, üçüncü sütuna da, b gibi sayılar kaydedilmiş, c lere karşılık olan sayılar belirtilmemiş. Fakat örneğin; 32 + 42 = 52 ifadesinden ve buna benzer sonuçlardan yararlanmışlardır. Pisagor’dan on iki yüzyıl önce, bu gibi sayılara ait özellikleri Mezopotamyalılar işlemlerinde kullanıyorlardı. Bir başka şekilde ifade etmek gerekirse, Öklid, Pisagor ve Thales matematiğinin temelinde Mezopotamya matematiği yer almaktadır.  * ( ayrıntılı bilgi için bakınız Neugebaur matematik tarihi kitabı.)

Mezopotamyalıların bilinen diğer bir özelliği ise, çemberi 360 dereceye ilk defa Mezopotamyalıların ayırmış olduğu ve Yunanlıların bunu Mezopotamyalılar’dan öğrenmiş olmalarıdır. Başka bir özellikleri de kesik piramidin hacmi ile ilgilidir. Kaynaklara göre, Mezopotamyalılar, kesik piramit hacmine ek olarak, piramit hacim formülünü de bilmektedirler.

Mezopotamyalıların Pi sayısını da çeşitli alanlarda kullandıkları bilinmektedir. Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değerine de rastlanılmıştır.

3 değerini Mezopotamyalılar yaklaşık sonuçlar için kullanmaktaydılar. Sonuçların önemli olduğu kullanımlarda ise pi=3,125 değerini kullandıkları anlaşılmaktadır bu tabletlerdeki bilgilere göre. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Birinci dönemin bitmesi duraklamaya girilmiş olmasıdır. İlk matematik çalışmaları başlanılmış olmasına rağmen ilerleme yapılamamıştır. İlerlemenin durmasının çeşitli nedenleri olmasına rağmen en önemli neden kullanılan alfabelerin öğrenilmesi ve aktarılmasındaki güçlüktür. Yapılan çalışmalar yetersiz kalmıştır bu nedenle ve ilerleme kaydedilememiştir.Bu arada Eski Yunanistan’da hareketlilik oluşmuş ve yeni bir döneme geçiş kaçınılmaz olmuştur.

 

Devamı MATEMATİK TARİHİ – 3 başlıklı yazımızda.

MATEMATİK TARİHİ – 1

MATEMATİK TARİHİ

Matematiğin nerede ve ne zaman başladığı hakkında kesin bir bilgi bulunmamasına rağmen, ilk yazılı metin Eski Mısır’da M.Ö. 2000 li yıllarda karşımıza çıkmaktadır. Söylentiler daha eskilere gitmektedir, fakat bir kesinliği yoktur. Hatta Herodot’a göre ilk olarak matematik Nil Nehri’nin taşmasından dolayı kaybolan sınırları tekrar oluşturmak için çiftçiler tarafından kullanılmış. O zamanlarda yer ölçümü anlamına gelen geometri kelimesi denilmişti adına. Aristo’ya göre ise Nil için çıkmamıştı matematik. Rahipler can sıkıntılarından dolayı bulmuşlardı. Briç, satranç gibi oyunlar üretmişlerdi daha sonraları. Fakat bu bilinenlerin ötesinde yaklaşık 30.000 yıl önce Yontma Taş Devri’nde sayılarla hesap yaptıklarına, hatta bu sayıları gruplandırarak tabanlı sistemin temelini oluşturduklarına ilişkin kanıtlar bulunmaktadır.

(Bilinen bir gerçeklik vardır ki matematik asırlar boyunca varlığını sürdürmektedir. Daha da ileri giderek denilmiştir ki eski çağlarda “Tanrı Matematikçi olsa gerek.”)

Matematik tarihçileri matematiği genel hatları bakımıyla 5 ana dönemde incelemektedirler.

  • İLK DÖNEM: Mezopotamya – Mısır Tarihi (M.Ö 2000 – 500)
  • İKİNCİ DÖNEM: Grekler (eski yunanlılar) (M.Ö 500 – M.S 500)
  • ÜÇÜNCÜ DÖNEM: Hint (pers) – İslam – Rönesans Dönemi (M.S 500 – 1700)

1700 lü yıllar kalkülüsün başlangıç tarihi olarak da bilinmektedir.

  • DÖRDÜNCÜ DÖNEM: Klasik Matematik Dönemi (1700 – 1900)
  • BEŞİNCİ DÖNEM: Modern Matematik Dönemi (1900 – …)

Bu dönemlere kısaca bir göz atmamızda fayda görüyorum.  Çünkü her dönemdeki gelişim süreçleri matematiğin şimdiki durumunu anlamamıza ve gelecekteki yerini ve önemini kavramamıza yardımcı olacağını düşünüyorum.

Devamı MATEMATİK TARİHİ – 2 başlıklı yazımızda.

Neden Matematik Öğreniyoruz ?

Neden Matematik Öğreniyoruz ?

Matematik uygarlığın aracıdır. Matematik çok yönlü bir bilimdir. Yayılma alanının ve derinliğinin sınırı yoktur. Bilim ve teknolojide olduğu kadar günlük yaşamda da vazgeçilmezdir. Çağlardan çağlara taşınan, ulusal sınır tanımayan, etkili, sağlam ve evrensel bir kültürdür.

İnsanoğlu varoluşundan beri korkuyla, şüpheyle ve merakla içinde yaşadığı evreni tanımaya, doğa olaylarını açıklamaya ve doğaya egemen olmaya uğraşmaktadır. Gizlerini bilmediği için doğa olaylarını, yüzbinlerce yıl boyunca, korkuyla gözleyen insanoğlu, doğaya egemen olmak zorunda olduğunu kavradıktan sonra onunla amansız bir mücadeleye girmiştir. Bu mücadelede onun en hünerli aracı matematiktir.

Tarih öncesi zamanlardan beri insanoğluna doğa üstü görünen pek çok olayın bilimsel açıklaması matematik ile yapılabilmiştir, evrenin mükemmel düzeni matematik ile ortaya konulmuştur. Örneğin, gök cisimlerinin hareketi, insanoğlunun daima merak ettiği hatta korktuğu olgulardandı. Şimdi Ay’ın ve Güneş’in tutulmasından korkmuyoruz; hatta tutulmaların ne zaman ve nerede olacağını çok önceden hesaplayabiliyoruz. Gök gürlemesinden, yağmurdan, selden korkmuyor; barajlar kuruyor, evlere, fabrikalara enerji akıtıyoruz. Dünyada ve hatta gezegenler arasında etkin bir haberleşme ağı yaratıyor, üstün bir iletişim ortamı kuruyoruz. Temeli matematiğe dayanan Elektrik ve Magnetizma Kuramı olmasa günümüzün enerji ve iletişim sistemleri çalışmazdı; yani radyolarımız çalışmaz, televizyonlarımız göstermez; barajlarımız elektrik üretmezdi. Işığın nasıl yayıldığını kolayca açıklıyoruz. Işığı yalnız aydınlatmada kullanmıyoruz; örneğin, x ışınlarını, lazer ışınlarını insanlığın sağlığı, refahı ve mutluluğu için kullanabiliyoruz. Süper bilgisayarlar üretiyor ve binlerce kişinin binlerce yılda bitiremiyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. Romantizmin başlıca kaynağı olan Ay’a ayak basıyoruz…

Bütün bunları matematikle yapıyoruz.

Matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan yoktur… Matematik yalnızca çağdaş bilim ve tekniğin temel aracı değildir… Tıp, sosyal, siyasal, ekonomi, işletme, yönetim v.b. bilimler de matematiksel yöntemlere dayanmak zorundadır. Kısaca matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır, çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktır.

Bu nedenle, matematik öğretimi bütün dünya ülkelerinde özel bir önem ve önceliğe sahiptir.

 

Öğrenci Soruları 1

Öğrenci Soruları 1

 

Sınav Kaygısıyla Başa Çıkma Yolları

SINAV KAYGISIYLA BAŞA ÇIKMA YOLLARI

Sınav Kaygısıyla Başa Çıkma Yolları

Gerçekte belirli düzeyde, aşırı olmayan, kaygıya ihtiyaç vardır.

İnsanın kaygıdan kurtulabilmesi için öncelikle vücudunu gevşetmeyi öğrenmesi gerekir. Vücudu gevşetmenin üç yolu vardır.

  1. Doğru nefes alma
  2. Fizik egzersizi
  3. Düşünce biçimini düzenleme
  1. Doğru nefes almak:

Doğru nefes vücudu rahatlatır, gevşenmeyi sağlar. Vücutta daha fazla oksijen yakılmasından dolayı, öğrenme sırasında beyinde meydana gelen protein bağlarının kurulmasını sağlar. Oksijenin vücudun en uç noktasına gitmesini ve stresin ortadan kalkmasını ya da azalmasını sağlar. Doğru nefes alma nasıl olmalı: Doğru nefes almada akciğerin tamamı oksijen ile dolar. Sağ elinizin avuç içini midenize, sol elinizi göğsünüze koyun. Nefes aldığınızda sağ eliniz hareket ediyorsa doğru nefes alıyorsunuz demektir.

Günde 40-50 defa doğru nefes alma egzersizi yapmak kaygıyı düşürür.

  1. Düzenli fizik egzersizi:

Günde 10-20 dakika düzenli egzersiz yapmanın sınavlara hazırlanan gence sağlayacağı yararlardan birincisi kaygıyı azaltması, ikincisi öğrenmede etkinliğin artması.

Gerginliğin damarlarda daralmaya neden olduğu için hücrelere giden kan miktarında azalma olur. Sınav stresini yaşayan gencin durumu budur. Bu da hücrelerin yetersiz beslenmesi demektir. Bu durumda vücutta salgılanan bazı maddeler öğrenmeyi zorlaştırır ve hücrelerin kapasitelerini tam manasıyla kullanamamasına neden olur.

Fizik egzersizi öğrenmeyi kolaylaştırır. Fiziksel egzersizden sonraki rahatlama sırasında salgılanan seratonin adındaki madde öğrenmek için gerekli olan zihinsel ortamın doğmasına neden olur.

Bir fizik egzersizi programı tamamlandığı zaman yorgunluk hissedilmemeli. Zıplayarak yapılan yorucu hareketlerden kaçınılması. Sağa sola eğilme. Öne eğilerek eli yere değdirme, dizleri bükerek yere eğilip hareketler yapın.

Fizik egzersizinin yararları:

  • Kas gevşemesi
  • Zihinsel gevşeme
  • Yapılan işte etkinliğin artması
  • Enerjide artış
  • Endişelerde azalma
  • Daha iyi sağlık
  • Duygusal rahatlık
  • Kendine güven artışı
  1. Düşünce biçimini düzenlemek:

Kaygıyı azaltmak için pratik öneriler:

Sınav için olumlu düşünün. Sınavdan önce zihninizde geçmişteki başarısızlıklarınızı değil başarılarınızı  düşünün. Kendinize güvenin.

“Mahvolurum” “hapı yutarım” gibi düşüncelerin problemi çözmeye yararı olmadığını unutmayın.

Sınav, bilgilerin ölçülmesidir kişiliğinizin değil.

Yapamayacağım, başaramayacağım şeklindeki düşüncelerden kurtulun. Bu düşünceler sınavı baştan kaybetmenize neden olur.

Daha önceki başarısızlıklar sebeplerini araştırın. Onları telafi edilmesine çalışın. Başka bir deyişle, aynı sebeplerin yeni bir başarısızlığa yol açmasına izin vermeyin.